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鄰居的孩子數學謎題

答對率:64%
(1)
你有一個不太熟的鄰居。你只知道他有兩個孩子,但不曉得孩子們是男是女。有一天,你偶然和鄰居有機會聊天…
鄰居:「我至少有一個女兒。」
雖然納悶為何他不告訴你詳細一點,不過你也沒有多問。
那麼,這位鄰居有 兩個女兒 的機率是多少?

(2)
你有另一個不太熟的鄰居。你只知道他有兩個孩子,但不曉得孩子們是男是女。有一天,你看到鄰居正和一個小女孩在他家的庭院玩耍…
你:「你女兒嗎?真可愛!」,鄰居笑著點點頭。
「嗨~ 小妹妹~」你殷勤地問候。
但女孩卻開始大哭,然後被一臉尷尬的鄰居哄著帶回家去了。
那麼,這位鄰居有 兩個女兒 的機率是多少?

 
註:​假設孩子生來是男或女的機率各是 1/2 ,且每個孩子之間互不相關 (即獨立)。
mightqxc2014-08-26提供(2014-08-29修改)
看答案
(1) 1 / 3  (約 33.3%)
(2) 1 / 2  (50%)
 

想想看,在這兩題的情況中,同樣是多知道「鄰居至少有一個女兒」一事,為什麼兩題的答案會不同?

如果你有答案了,可以看看下一題…

(3)
你還有另一個不太熟的鄰居。你也只知道他有兩個孩子,但不曉得孩子們是男是女。然後有一天,你有幸能和他聊天…
鄰居:「我至少有一個金髮的女兒。」
你:「……」
那麼,這位鄰居有 兩個女兒 的機率是多少?
(假設孩子生來是黑髮或金髮的機率也各是 1/2 ,且每個孩子之間互不相關,也與孩子是男是女無關。)
 

解析

我要編輯
(1)
因為兩個孩子之間的性別是獨立的,故有以下四種可能的情形:
老大 老二


 



由於生男生女機率各半,故以上每種情形發生的機率相等。
由鄰居的話可排除第一種情形,剩下 3 種 (黃底的)。
其中兩個女兒的情況有 1 種,故機率為 1 / 3。


(2)
因為兩個孩子「被你遇見」的機率各是 1/2,且互相獨立。故有以下四種情形:
被你遇見
的孩子
沒被你遇見
的孩子








以上每種情形發生的機率相等。
因為你遇見的是女孩,故可排除前兩種情形,剩下 2 種 (黃底的)。
其中兩個女兒的情況有 1 種,故機率為 1 / 2。


至於這兩題的條件差異何在呢?或許每個人解釋不同,以下提供我的看法。
我想差異是 在兩個孩子中「是否指明哪一個孩子」是女孩所至。第一題的情形,從鄰居的話只知道「至少有一個女孩」,沒有指明「是哪一個」;而第二題的情形則有。
在兩個孩子中指明其中一個的方式有很多種,只要與孩子的性別互相無關即可。如:
  • 「老大」VS「老二」 (最常用的)
  • 「你遇到的那個」 VS 「你沒遇到的那個」 (如第二題)
  • 「名字叫做 Tina 的」 VS 「名字不叫 Tina 的」
  • 「身高較高的」 VS 「身高較矮的」
  • 「這個」 VS 「那個」
  • 「是女孩的那個」VS「另一個」 (這種指明方式不行)
指明後可以確定在討論的對象是誰,因為孩子是「老大」就不會是「老二」、是「你遇到的那個」就不會是「你沒遇到的那個」…、是「這個」就不會是「那個」;而最後一種指明方式不行,因為「另一個」也可能是女孩。第二題中,無論用任何一種方法,只要鄰居給的資訊中有指明清楚「哪一個」是女孩,則鄰居 兩個女孩 的機率就是 1/2。

指明與否為何會導致機率的不同呢?我所想到的,有兩種看待的方法:
1. 從資訊的陳述來看:
「有指明的資訊」 會包含 「無指明的資訊」,但反之不成立。如:
「我遇見的這個是女孩」,就包含 (即可推得)「至少一個是女孩」的結論。
但是「至少一個是女孩」不包含 (即不能推得)「我遇見的這個是女孩」。
因此,這兩種資訊其實是不同的;在獲得不同資訊下的機率 (或說條件機率) 自然可能不一樣。
2. 從 條件機率/獨立事件 來看:
相關內容在高中數學應有學到,這裡簡單說明。
設 A、B 是事件,則 P(A) 、 P(B) 分別是 A 事件 與 B 事件發生的機率,P(A∩B) 是 A 和 B 都發生的機率。P(A|B) 為 在 B 事件發生的條件下 A 事件發生的機率 (即條件機率),定義 P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
如果 A、B 兩事件獨立 (不相關),意即無論在 B 發生或不發生的條件下, A 發生機率皆相同,反之亦然,即:P(A|B) = P(A) 、P(B|A) = P(B),或說 P(A∩B) = P(A)P(B)。
假設 A 事件是「這個孩子是女孩」,B 事件是「那個孩子是女孩」 (有指明)。
故 P(A) = P(B) = 1/2。並且,A、B 兩事件是互相獨立的,故 P(A|B) = P(A) = P(B|A) = P(B) = 1/2。
在第二題的情況下,從鄰居得知的資訊是 A (「這個」孩子是女孩),故在此條件下另一個孩是是女孩的機率就是:P(B|A) = P(B) = 1/2。這很容易理解,因為另一個孩子的性別與這個孩子的無關。
但是在第一題的情況下,從鄰居得知的資訊是 C 事件:「至少有一個女孩」,既不是 A 也不是 B (因為沒有指明)!重點是,雖然 A、B 是獨立的,但是在 C 事件發生的條件下, A、B 的發生就不再一定是獨立的了,意即有可能: P(A|B∩C) ≠ P(A∩C)  ,或說 P(A∩B | C) ≠ P(A|C)P(B|C)。這告訴我們,在得知「至少有一個女孩」的條件下,兩個孩的性別不再無關,而是「互相牽制的」!


說到這裡,希望能讓各位了解:討論對象的「指明」與否 是很重要的。
如果你還是無法接受這個理由,或是覺得指不指明其實沒什麼,那麼 第三題 就會很有意思…
 

第三題答案:
(3) 3 / 7  (約 42.9%)

乍看之下髮色與性別無關,多知道髮色的資訊應該不影響答案。不過實際計算之後會發現其實不然。
因為兩個孩子之間的性別是獨立的、髮色也是獨立的,故有以下 16 種可能的情形:
老大 男黑 男黑 男黑 男黑 男金 男金 男金 男金 女黑 女黑 女黑 女黑 女金 女金 女金 女金
老二 男黑 男金 女黑 女金 男黑 男金 女黑 女金 男黑 男金 女黑 女金 男黑 男金 女黑 女金

由於生男生女機率各半、黑髮金髮的機率也各半,故以上每種情形發生的機率相等。
由鄰居的話「有一位金髮女孩」得知,剩下 7 種 (黃底的) 情況。
其中兩個女兒的情況有 3 種,故機率為 3 / 7。

或以條件機率計算:
兩個女孩 的機率是 1/4,至少一位是金髮的機率是 1 - (1/2)2 = 3/4 ;相乘得 3/16。
一男一女 的機率是 1/2,其中女孩是金髮的機率是 1/2 ;相乘得 1/4。
故在「有一位金髮女孩」的條件下,兩個女孩 的機率就是 (3/16) / (3/16 + 1/4) = 3/7 。

所以「髮色」的資訊確實影響機率了!
回頭整理一下前兩題中「至少一個女孩」的資訊 與 兩個女孩 的機率 的關係:
  • 「未指明」哪一個是女孩 (如第一題):兩個女孩 的機率 是 1/3 ≈ 33.3%。
  • 「完全指明清楚」哪一個是女孩 (如第二題):兩個女孩 的機率 是 1/2 = 50%。
第三題的答案介於前兩者之間,也就是所謂「有指明 但未完全指明清楚」的情況。

什麼意思呢?就是用「髮色」來指明 (「金髮的那位」 VS 「另一位」) 是哪一個女孩;未完全指名是因為 「另一位」也有可能是金髮。不過,這樣還是比 完全未指名 來得「清楚」,因為「有一位金髮女孩」表示女孩較有可能是金髮的,且「另一位」(不論男女) 較有可能不是金髮的。

指明的越清楚,孩子之間的性別就越獨立無關,鄰居有 兩個女孩 的機率 也就越接近 1/2。例如,第三題中,若改成 孩子金髮的機率很小,那麼用「金髮」的指明就會更清楚,因為在 「金髮的那位」 VS 「另一位」中,「另一位」就幾乎不是金髮,因此「有一位金髮女孩」就幾乎表示「兩個孩子中 一位是金髮另一位不是,而金髮的那位是女孩」,這樣「另一位」的性別就幾乎與「這位金髮女孩」無關了。

實際舉例說明;第三題中,若改成 金髮的機率是 1%、黑髮 99 %,那麼:
兩個女孩 的機率是 1/4,至少一位是金髮的機率是 1 - (99/100)2 = 199/10000 ;相乘得 199/40000。
一男一女 的機率是 1/2,其中女孩是金髮的機率是 1/100 ;相乘得 1/200。
故在「有一位金髮女孩」的條件下,兩個女孩 的機率就是 (199/40000) / (199/40000 + 1/200) = 199/399,約等於 49.9% ,相當接近「完全指明」(如第二題) 的情況。
 

補充:
  1. 注意,每次列表的時候,都要用「能完全指明兩個孩子」的項目。如:「老大 vs 老二」、「我認識的位 vs 我不認識的那位」…等。道理如上所述,因為「完全指明」後,兩個孩子的性別 (或其他性質) 才是獨立無關的,才能拿來列表。
  2. 「女孩 vs 另一位」也可以作為「完全指明」,但是前提是要一男一女,而且討論的對象並非孩子的性別才行。本題機率的討論對象是孩子的性別,可能或男或女,自然不能用它來指明。
  3. 再了解一下「指明」的意義。例如:「老大是女孩」,意思是 「有一位孩子 他是老大 (而另一個就不會是老大) 且 她是女孩」,這裡用了「老大」指明確定了主詞是誰,而「女孩」敘述了其性質,也就是說 指名 必須至少有 兩個 互相獨立無關 的 資訊 (「老大」&「女孩」)。
    那麼,第一題中可否用「是女孩的那位 vs 另一位」來指名呢?不行的,因為本題討論的對象就是 孩子是否為女孩;這樣成了「是女孩的那位 是女孩」,其實是只有一個資訊「女孩」,並非成功的指明。
  4. 許多人會說 第一題 的答案應該與第二題相同也是 1/2 。
    原因就在 你得知「至少有一個女孩」的過程為何:如果你是 看見鄰家有一個女孩 (如第二題)、打電話去鄰家有一個女孩接、或是鄰居改成說「我家的那個女孩 (且你很清楚他在說哪個)」…等等,這些過程其實都已明確地「指明」誰是女孩了 (也就是除了「女孩」之外,你還得知了他另一個「性質」足以指明),所以答案是 1/2。 但是如今第一題中鄰居的敘述只是模糊的「至少有一個女孩」,完全無法確定他在說「哪個」,所以在這種情況下,答案 1/3 還是較為合理的。
  5. 對於第一題,再換一種思考方式:如果說想要列表找所有可能的性別組合,硬是要用「是女孩的那位 vs 另一位」當表頭來列,(換言之,從「至少有一位女孩」中把 該「女孩」抓出來,列在第一列表頭!) 可以嗎?如下:
    是女孩的那位
    另一位

    上表中,只有黃底部分是合理的,故剩下兩種;兩個女孩佔其中一種,所以機率是 1/2 ,是嗎?
    不是的,問題如上述,「是女孩」和 討論孩子的「性別」並非 兩個 獨立的敘述 (或說,根本是同一個敘述),這樣的列表是有問題的。講得更明白一點就是,雖然這個表是將四種都列出來了,但是其實每一行的機率並非均等的 (儘管生男生女的機率均等各半)!
    為什麼?關鍵在於列上表時,需要「抓了一個女孩出來」!考慮一般兩個孩子的列法 (例如用老大、老二來列):有 {男男}、{男女}、{女男}、{女女} ,共 4 種,每種出現的機率各是 1/4。如今要列上表,要「抓了一個女孩出來」列在表的第一列:
    在 {男女} 和 {女男} (機率共 1/2) 的情況中,女孩被抓出來的機率是 1;然後列到上表第三行的時候只有 1 種排法 (女上男下) ;故相乘得 1/2 × 1 = 1/2 。
    在 {女女} (機率 1/4) 的情況中,其中一個女孩被抓出來的機率是 1/2;然後列到上表第四行的時候有 2 種排法 (老大在上或在下);故相乘得 1/4 × 1/2 × 2 = 1/4 。
    因此,只剩下上表第三行與第四行 (黃色部分) 時,兩個女孩 (第四行) 的機率就只有 (1/4) / (1/2 + 1/4) = 1/3 ,與之前的得到的結果相同。
  6. 本題在機率學上有許多討論,我是從一本統計學書籍看到。維基百科 上也有,供大家參考。解析中解釋是經思考並參查資料證明後 個人的闡述,所以不一定完全正確,或是有別的 (更好的) 說法。如有朋友有不同的想法,歡迎提供。
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