鄰居的孩子謎題解析--GameSchool遊戲學校

精選謎題列表

其它謎題列表

謎題分類

鄰居的孩子 - 謎題解析

<div>(1) 
因為兩個孩子之間的性別是獨立的，故有以下四種可能的情形：<table align="left" border="1" style="width:200px;"><tr><td>老大</td>
<td>老二</td>
</tr><tr><td>男</td>
<td>男</td>
</tr><tr><td>男</td>
<td>女</td>
</tr><tr><td>女</td>
<td>男</td>
</tr><tr><td>女</td>
<td>女</td>
</tr></table></div><div style="text-align:center;"> 
 
 </div><div> 
 
 
由於生男生女機率各半，故以上每種情形發生的機率相等。 
由鄰居的話可排除第一種情形，剩下 3 種 (黃底的)。 
其中兩個女兒的情況有 1 種，故機率為 1 / 3。 
 
 
(2) 
因為兩個孩子「被你遇見」的機率各是 1/2，且互相獨立。故有以下四種情形：<table align="left" border="1" style="width:200px;"><tr><td>被你遇見 
的孩子</td>
<td>沒被你遇見 
的孩子</td>
</tr><tr><td>男</td>
<td>男</td>
</tr><tr><td>男</td>
<td>女</td>
</tr><tr><td>女</td>
<td>男</td>
</tr><tr><td>女</td>
<td>女</td>
</tr></table> 
 
 
 
 
 
 
 
以上每種情形發生的機率相等。 
因為你遇見的是女孩，故可排除前兩種情形，剩下 2 種 (黃底的)。 
其中兩個女兒的情況有 1 種，故機率為 1 / 2。 
 
 
至於這兩題的條件差異何在呢？或許每個人解釋不同，以下提供我的看法。 
我想差異是 在兩個孩子中「是否指明哪一個孩子」是女孩所至。第一題的情形，從鄰居的話只知道「至少有一個女孩」，沒有指明「是哪一個」；而第二題的情形則有。 
在兩個孩子中指明其中一個的方式有很多種，只要與孩子的性別互相無關即可。如：<ul><li>「老大」VS「老二」 (最常用的)</li>
<li>「你遇到的那個」 VS 「你沒遇到的那個」 (如第二題)</li>
<li>「名字叫做 Tina 的」 VS 「名字不叫 Tina 的」</li>
<li>「身高較高的」 VS 「身高較矮的」</li>
<li>「這個」 VS 「那個」</li>
<li><strike>「是女孩的那個」VS「另一個」</strike> (這種指明方式不行)</li>
</ul>指明後可以確定在討論的對象是誰，因為孩子是「老大」就不會是「老二」、是「你遇到的那個」就不會是「你沒遇到的那個」…、是「這個」就不會是「那個」；而最後一種指明方式不行，因為「另一個」也可能是女孩。第二題中，無論用任何一種方法，只要鄰居給的資訊中有指明清楚「哪一個」是女孩，則鄰居 兩個女孩 的機率就是 1/2。 
 
指明與否為何會導致機率的不同呢？我所想到的，有兩種看待的方法： 
1. 從資訊的陳述來看：<div style="margin-left:40px;">「有指明的資訊」 會包含 「無指明的資訊」，但反之不成立。如： 
「我遇見的這個是女孩」，就包含 (即可推得)「至少一個是女孩」的結論。 
但是「至少一個是女孩」不包含 (即不能推得)「我遇見的這個是女孩」。 
因此，這兩種資訊其實是不同的；在獲得不同資訊下的機率 (或說條件機率) 自然可能不一樣。</div><div>2. 從 條件機率/獨立事件 來看：</div><div style="margin-left:40px;">相關內容在高中數學應有學到，這裡簡單說明。 
設 A、B 是事件，則 P(A) 、 P(B) 分別是 A 事件 與 B 事件發生的機率，P(A∩B) 是 A 和 B 都發生的機率。P(A|B) 為 在 B 事件發生的條件下 A 事件發生的機率 (即條件機率)，定義 P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。 
如果 A、B 兩事件獨立 (不相關)，意即無論在 B 發生或不發生的條件下， A 發生機率皆相同，反之亦然，即：P(A|B) = P(A) 、P(B|A) = P(B)，或說 P(A∩B) = P(A)P(B)。 
假設 A 事件是「這個孩子是女孩」，B 事件是「那個孩子是女孩」 (有指明)。 
故 P(A) = P(B) = 1/2。並且，A、B 兩事件是互相獨立的，故 P(A|B) = P(A) = P(B|A) = P(B) = 1/2。 
在第二題的情況下，從鄰居得知的資訊是 A (「這個」孩子是女孩)，故在此條件下另一個孩是是女孩的機率就是：P(B|A) = P(B) = 1/2。這很容易理解，因為另一個孩子的性別與這個孩子的無關。 
但是在第一題的情況下，從鄰居得知的資訊是 C 事件：「至少有一個女孩」，既不是 A 也不是 B (因為沒有指明)！重點是，雖然 A、B 是獨立的，但是在 C 事件發生的條件下， A、B 的發生就不再一定是獨立的了，意即有可能： P(A|B∩C) ≠ P(A∩C)  ，或說 P(A∩B | C) ≠ P(A|C)P(B|C)。這告訴我們，在得知「至少有一個女孩」的條件下，兩個孩的性別不再無關，而是「互相牽制的」！</div><div> 
 
說到這裡，希望能讓各位了解：討論對象的「指明」與否 是很重要的。 
如果你還是無法接受這個理由，或是覺得指不指明其實沒什麼，那麼 第三題 就會很有意思… 
 </div><hr /><div>第三題答案： 
(3) 3 / 7  (約 42.9%)</div><div> 
乍看之下髮色與性別無關，多知道髮色的資訊應該不影響答案。不過實際計算之後會發現其實不然。 
因為兩個孩子之間的性別是獨立的、髮色也是獨立的，故有以下 16 種可能的情形：<table align="center" border="1" style="width:600px;"><tr><td>老大</td>
<td>男黑</td>
<td>男黑</td>
<td>男黑</td>
<td>男黑</td>
<td>男金</td>
<td>男金</td>
<td>男金</td>
<td>男金</td>
<td>女黑</td>
<td>女黑</td>
<td>女黑</td>
<td>女黑</td>
<td>女金</td>
<td>女金</td>
<td>女金</td>
<td>女金</td>
</tr><tr><td>老二</td>
<td>男黑</td>
<td>男金</td>
<td>女黑</td>
<td>女金</td>
<td>男黑</td>
<td>男金</td>
<td>女黑</td>
<td>女金</td>
<td>男黑</td>
<td>男金</td>
<td>女黑</td>
<td>女金</td>
<td>男黑</td>
<td>男金</td>
<td>女黑</td>
<td>女金</td>
</tr></table> 
由於生男生女機率各半、黑髮金髮的機率也各半，故以上每種情形發生的機率相等。 
由鄰居的話「有一位金髮女孩」得知，剩下 7 種 (黃底的) 情況。 
其中兩個女兒的情況有 3 種，故機率為 3 / 7。 
 
或以條件機率計算： 
兩個女孩 的機率是 1/4，至少一位是金髮的機率是 1 - (1/2)2 = 3/4 ；相乘得 3/16。 
一男一女 的機率是 1/2，其中女孩是金髮的機率是 1/2 ；相乘得 1/4。 
故在「有一位金髮女孩」的條件下，兩個女孩 的機率就是 (3/16) / (3/16 + 1/4) = 3/7 。 
 
所以「髮色」的資訊確實影響機率了！ 
回頭整理一下前兩題中「至少一個女孩」的資訊 與 兩個女孩 的機率 的關係：<ul><li>「未指明」哪一個是女孩 (如第一題)：兩個女孩 的機率 是 1/3 ≈ 33.3%。</li>
<li>「完全指明清楚」哪一個是女孩 (如第二題)：兩個女孩 的機率 是 1/2 = 50%。</li>
</ul>第三題的答案介於前兩者之間，也就是所謂「有指明 但未完全指明清楚」的情況。 
 
什麼意思呢？就是用「髮色」來指明 (「金髮的那位」 VS 「另一位」) 是哪一個女孩；未完全指名是因為 「另一位」也有可能是金髮。不過，這樣還是比 完全未指名 來得「清楚」，因為「有一位金髮女孩」表示女孩較有可能是金髮的，且「另一位」(不論男女) 較有可能不是金髮的。 
 
指明的越清楚，孩子之間的性別就越獨立無關，鄰居有 兩個女孩 的機率 也就越接近 1/2。例如，第三題中，若改成 孩子金髮的機率很小，那麼用「金髮」的指明就會更清楚，因為在 「金髮的那位」 VS 「另一位」中，「另一位」就幾乎不是金髮，因此「有一位金髮女孩」就幾乎表示「兩個孩子中 一位是金髮另一位不是，而金髮的那位是女孩」，這樣「另一位」的性別就幾乎與「這位金髮女孩」無關了。 
 
實際舉例說明；第三題中，若改成 金髮的機率是 1%、黑髮 99 %，那麼： 
兩個女孩 的機率是 1/4，至少一位是金髮的機率是 1 - (99/100)2 = 199/10000 ；相乘得 199/40000。 
一男一女 的機率是 1/2，其中女孩是金髮的機率是 1/100 ；相乘得 1/200。 
故在「有一位金髮女孩」的條件下，兩個女孩 的機率就是 (199/40000) / (199/40000 + 1/200) = 199/399，約等於 49.9% ，相當接近「完全指明」(如第二題) 的情況。 
 <hr /> 
補充：<ol><li>注意，每次列表的時候，都要用「能完全指明兩個孩子」的項目。如：「老大 vs 老二」、「我認識的位 vs 我不認識的那位」…等。道理如上所述，因為「完全指明」後，兩個孩子的性別 (或其他性質) 才是獨立無關的，才能拿來列表。</li>
<li>「女孩 vs 另一位」也可以作為「完全指明」，但是前提是要一男一女，而且討論的對象並非孩子的性別才行。本題機率的討論對象是孩子的性別，可能或男或女，自然不能用它來指明。</li>
<li>再了解一下「指明」的意義。例如：「老大是女孩」，意思是 「有一位孩子 他是老大 (而另一個就不會是老大) 且 她是女孩」，這裡用了「老大」指明確定了主詞是誰，而「女孩」敘述了其性質，也就是說 指名 必須至少有 兩個 互相獨立無關 的 資訊 (「老大」&amp;「女孩」)。 
那麼，第一題中可否用「是女孩的那位 vs 另一位」來指名呢？不行的，因為本題討論的對象就是 孩子是否為女孩；這樣成了「是女孩的那位 是女孩」，其實是只有一個資訊「女孩」，並非成功的指明。</li>
<li>許多人會說 第一題 的答案應該與第二題相同也是 1/2 。 
原因就在 你得知「至少有一個女孩」的過程為何：如果你是 看見鄰家有一個女孩 (如第二題)、打電話去鄰家有一個女孩接、或是鄰居改成說「我家的那個女孩 (且你很清楚他在說哪個)」…等等，這些過程其實都已明確地「指明」誰是女孩了 (也就是除了「女孩」之外，你還得知了他另一個「性質」足以指明)，所以答案是 1/2。 但是如今第一題中鄰居的敘述只是模糊的「至少有一個女孩」，完全無法確定他在說「哪個」，所以在這種情況下，答案 1/3 還是較為合理的。</li>
<li>對於第一題，再換一種思考方式：如果說想要列表找所有可能的性別組合，硬是要用「是女孩的那位 vs 另一位」當表頭來列，(換言之，從「至少有一位女孩」中把 該「女孩」抓出來，列在第一列表頭！) 可以嗎？如下：<table align="center" border="1" style="width:300px;"><tr><td>是女孩的那位</td>
<td>男</td>
<td>男</td>
<td>女</td>
<td>女</td>
</tr><tr><td>另一位</td>
<td>男</td>
<td>女</td>
<td>男</td>
<td>女</td>
</tr></table> 
上表中，只有黃底部分是合理的，故剩下兩種；兩個女孩佔其中一種，所以機率是 1/2 ，是嗎？ 
不是的，問題如上述，「是女孩」和 討論孩子的「性別」並非 兩個 獨立的敘述 (或說，根本是同一個敘述)，這樣的列表是有問題的。講得更明白一點就是，雖然這個表是將四種都列出來了，但是其實每一行的機率並非均等的 (儘管生男生女的機率均等各半)！ 
為什麼？關鍵在於列上表時，需要「抓了一個女孩出來」！考慮一般兩個孩子的列法 (例如用老大、老二來列)：有 {男男}、{男女}、{女男}、{女女} ，共 4 種，每種出現的機率各是 1/4。如今要列上表，要「抓了一個女孩出來」列在表的第一列： 
在 {男女} 和 {女男} (機率共 1/2) 的情況中，女孩被抓出來的機率是 1；然後列到上表第三行的時候只有 1 種排法 (女上男下) ；故相乘得 1/2 × 1 = 1/2 。 
在 {女女} (機率 1/4) 的情況中，其中一個女孩被抓出來的機率是 1/2；然後列到上表第四行的時候有 2 種排法 (老大在上或在下)；故相乘得 1/4 × 1/2 × 2 = 1/4 。 
因此，只剩下上表第三行與第四行 (黃色部分) 時，兩個女孩 (第四行) 的機率就只有 (1/4) / (1/2 + 1/4) = 1/3 ，與之前的得到的結果相同。</li>
<li>本題在機率學上有許多討論，我是從一本統計學書籍看到。<a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox" target="_blank">維基百科</a> 上也有，供大家參考。解析中解釋是經思考並參查資料證明後 個人的闡述，所以不一定完全正確，或是有別的 (更好的) 說法。如有朋友有不同的想法，歡迎提供。</li>
</ol></div></div>

備註

關於GS	好玩遊戲		益智謎題		聯絡我們
關於遊戲學校常見問題服務條款隱私政策 144,082,918	自造遊戲 X檔案夢遊先生神秘解謎 CN卡通頻道 GROW成長物品拆解	密室脫逃遊戲方塊益智遊戲偵探解謎遊戲益智冒險遊戲策略棋弈遊戲觀察尋找遊戲其它益智遊戲	邏輯數學找規律 / 找不同空間概念快問快答移動成立創造力	謎語 / 燈謎偵探思考眼腦並用文字拆解圖其他謎題	留言 / 錯誤回報 service@gameschool.cc
					其他
					GS名人榜攻略編輯總表