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單選題~數學謎題

答對率:71%
你拿到期末考卷的題目時,鬆了一口氣,因為老師仁慈地出了選擇題 (而非困難的計算或申論)。
題目滿分 100 分,共 20 題,一題 5 分;一題有 ABCD 四個選項,單選不倒扣。
你飛快地在答案紙上填答;所幸這週惡補課業有成果,作答還算順利。可是後來你楞住了。
20 題之中,你有 15 題會寫 (也有把握寫對),但是剩下的 5 題...你毫無頭緒。所以你只好決定用猜的。
根據老師出題的習慣,他出選擇題時,答案為 A、B、C、D 的數量都一樣。你統計了一下,你寫的 15 題之中,有 3 個 A 、 4 個 B 、4 個 C 、 4 個 D。
另外,因為你期中考考的太差,你算了一下,期末考如果有 90 分以上就不會被當,但低於 90 分就糟了。
 
那麼,你要怎麼猜這 5 題的答案呢?

(鼓勵先用直覺,怎麼猜答案對你最有利;然後再實際算算看猜中的機率~)
PS:這是數學題!所以可以算出有最有利的猜法。本題並不是要調查各位考試猜題的方式~
mightqxc2013-07-01提供(2013-07-04修改)
看答案
4 個 A 加上 1 個 B  (B 可改成 C、D)
3 個 A 加上 2 個 B  (BB 可改成 CC、DD,但是要兩個都改成一樣的才行。)

最好的猜法會根據你要考「幾分以上」而有不同。
舉例來說,如果你只要考 85 分以上就 OK 的話,剩下的 5 題就全部猜 A ,這樣一定會對兩題 答案是 A 的 (其它三題也一定會錯),100% 的機率拿到 85 分。(其它的猜法比較不好,因為雖然可能更高分,但會也會冒考低於 85 分的險。)
再舉一例,如果你要考 100 分才會 pass 的話,你唯有猜 2 個 A 和 BCD 各 1 個。雖然全對的機率不高,但是若不這樣猜,你完全沒機會考 100 分。

要得 90 分,也就是剩下 5 題中要對 3 題。已知剩下的答案是 2 個 A 和 BCD 各 1 個。所以你會希望你的猜法讓 90 分以上的機率最高。
以下提供幾種猜法及得到分數的機率: (註: 其中 BCD 都可互換,且五題答案的順序不重要)
 
猜法 \ 分數 75 80 85 90 95 100
AAAAA 0 0 1 0 0 0
AAAAB 0 2/5 2/5  1/5 0 0
AAABB 1/10 2/5 3/10 1/5 0 0
AAABC 1/10 2/5 2/5 1/20 1/20 0
AABCD ? ? ? ? 0 1/60

機率的算法不難,至少列舉所有情況去算就一定算得出來 (會用排列組合 也可以)。
舉例來說,猜 AAAAB 的話,共有 5 種猜法 (5 題中的哪一題猜 B)。其中,B 的位置猜對的有一種,會得 90 分 (因為也會猜對 2 個 A) 故機率為 1/5;B 猜 到 答案為 C 或 D 的,共兩種,會得 85 分,機率 2/5;B 猜到答案為 A 的有兩種 (有兩個答案是 A),得 80 分,機率為 2/5。

可以看出來,猜 AAABC 不比 AAABB 好 (雖然可能得 95分,但得 90 分以上的總機率較低),其實不用計算也可以想見,因為這樣猜 增加了 BC 猜相反的可能性。當然,猜 AABCD 或表列以外的方法, 90 分以上的機率就更低了。(表格中的 ? 留給各位朋友算算看)

從表上得知,猜 AAAAB 或 AAABB ,得 90 分以上機率最高 (都是 1/5),故應當這樣猜。我個人比較喜歡 AAAAB ,因為至少有 80 分,不會冒只得 75 分的險。 (雖然都一樣是被當啦~ )

希望這個題目 對要考試的朋友們有些幫助。 (不過考前還是要認真準備啦~)

解析

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