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十全數數學謎題

答對率:54%
如果有一個正整數,其組成的位數包含 0~9 所有的十個阿拉伯數字 (例如: 134827653940),就稱它是一個「十全數」。

如果有一個 十全數,它的 2 倍、3 倍、…、N 倍 (N 是正整數)都是 十全數 ,但(N+1)倍卻不是 十全數 的話,就稱它是 「N級十全數」。

例如:
1234567890 ,組成位數包含 0~9 所以它是一個 十全數。並且:
1234567890 × 1 = 1234567890 ,是 十全數;
1234567890 × 2 = 2469135780 ,也是 十全數;但
1234567890 × 3 = 3703703670 ,就不是 十全數 了。
因此,1234567890 是一個 「2級十全數」。

問題:
  1. 1176470588235294」和「157894736842105263」分別是 幾級 的 十全數 呢?
  2. 先試著找出一個 8級十全數。
    再來,若給定正整數 N ,給出一個辦法可以找到一個 「N級以上的十全數」(超過 N 沒關係,例如 N=100 時若該辦法能找到的是一個 102級十全數 亦可;但要無論 N 給多大都適用的辦法)。
  3. 有「無限大級的十全數」存在嗎?(「無限大級的十全數」就是指 它的 2 倍、3 倍、…、所有正整數的倍數 也全部都是 十全數)
mightqxc2015-04-09提供(2015-04-10修改)
看答案
  1. 這題就把它們的倍數一一列舉檢查即可:
    1176470588235294」是 12級十全數;它的 13 倍是「15294117647058822」,缺少數字 3。
    157894736842105263」是 18級十全數 ;它的 19 倍是「2999999999999999997」。
    或許有人有發現:「1176470588235294」 剛好是 2/17 的小數循環節;而「157894736842105263」 則是 3/19 的循環節。
     
  2. 要找到剛好是 8 級的十全數 (不能超過) 其實不算容易…。以下是個幾個解:
    2603748631234567890」,由網友 katian 提供。
    1460905321234567890」,由推測 katian 找出上一個解的方法,所找出的另一解。
    260374863123456789」,發現第一個解除以 10 以後仍是 8 級十全數…
    如果想找出最小的 級十全數,我沒有好方法,有興趣者可以寫個程式算算。

    不過,如果任意給一個正整數 N ,要找到一個 N 級以上的 十全數(允許超過 N),就很容易;亦即只要找到一個數,其 1~N 倍都是 十全數 即可。
    直接舉例說明。如給定 N=30 的話:
    對於任何一個 30 以下的正整數 k ,我們必然可以找到 一個 形式如 「1234567890XX」的數(其中X是0~9的某數字),使其可以被 k 整數。如:
    「123456789000」可以被 1,2,3,4,5,6,8,9,10 整除。
    「123456789001」可以被 7 整除。找法很簡單,即先用 123456789000 除以 7 ,發現餘 6 (不足 1),故將它加上 1 即可。
    ​「123456789005」可以被 11 整除,找法同上。
    然後,算出這些「1234567890XX」除以 1~30 的商(要整除的),並補上導零至 12 位數:
    123456789000 ÷ 1 = 123456789000
    123456789000 ÷ 2 = 061728394500
    123456789000 ÷ 3 = 041152263000
    123456789000 ÷ 4 = 030864197250
    123456789000 ÷ 5 = 024691357800
    123456789000 ÷ 6 = 020576131500
    123456789001 ÷ 7 = 017636684143
    123456789000 ÷ 8 = 015432098625
    ……
    123456789000 ÷ 30 = 004115226300

    以此類推,我們可以找到好幾個形如「1234567890XX」的數,分別至少可以被 1~30 整除。
    然後,把這些 帶有導零商值 全部寫成一串(123456789000061728394500…004115226300),即是個 30級以上的十全數。
    原因很簡單,這個數字乘以 1~30 ,積的某一部分就會出現「1234567890XX」(且不會有進位的問題),必為十全數。
     
  3. 不存在「無限大級的十全數」。可以如 這一題 用鴿籠原理證明出,任何一個正整數,必定有一個倍數是只由 1 和 0 組成,不是 十全數。因此,就不存在一個 十全數 ,其任意整數倍都是 十全數。
 

延伸的幾個問題如下;有興趣可以試試看,我不會給答案(有的我也不會 :p),有解法的朋友可以在解析中編輯。
  1. 有關以上第三題,可以進一步證明以下敘述:
    對於任何一個質數 p ,只要 p 不等於 2 或 5,則必存在一個「只由 1 所組成」的倍數,且其位數小於等於 p ;意即,在 {11, 111, 1111, ......, 111...111 (p 個 1)} 之中必有一個是 p 的倍數。
    順帶一提,{11, 111, 1111, ......, 111...111, ...} 哪些是質數呢?很明顯,只有由 質數個 1 所組成的 才有可能是質數,但不是所有 質數個 1 組成的 111…11 都是質數,如: 11 是質數,111 不是(有因數 3),11111 也不是 (有因數 41),”7 個 1“ 也不是……。有興趣的朋友可以算算從 11 以後,至少要幾個 1 組成的數 才是質數。
  2. 有關第一題可以發現,利用分數的循環小數循環節,可以找出高級的十全數。原因是它的倍數仍然會是原本這個 十全數 的數字的順序組合,只是從不同數字起始而已 。
    如第一題 3/19 的循環節有 18 位,有機會是一個 18 級的十全數 (為什麼?),而實際上也是;但是 2/17 的循環節有 16 位數,應該也有機會可以是一個 16 級十全數,但實則不然,為什麼?。
  3. 有關第二題,要找出「N 級以上的十全數」,除了以上的做法之外,還有什麼辦法呢(可以不需要位數這麼多的)?
    另外,如果給定正整數 N ,要找出「剛好 N 級的十全數」,有什麼辦法呢?(不用 Try and error 或是利用程式的)

解析

我要編輯
從大家的討論中整理一下;有什麼要補充的就請直接編輯解析吧:
  1. 有朋友查到了,11111……111 (19 個 1) 是質數;而 11、13、17 個 1 都不是質數。
  2. (尚未有結論)
  3. 若要找「N 級以上的十全數」,第二題解答的方法可以改進一下,找到小一點的十全數:
    就是用 「123456789XX…X」取代解法中的「1234567890X…X」(不需要 0);中間步驟相同,而最後把 N 個「123456789XX…X」除以 1~N 商串起來以後,最後加一個 0 即可。

    另外有朋友發現,並非對所有的正整數 N ,都有 「剛好 N 級的十全數」。
    例如,不會存在 「剛好 (10n -1) 級的十全數」,因為如果有這樣的數存在,它也一定是「10n 級(或以上) 的十全數」(原因不難)。而由此又衍生出的新的問題:還有哪些正整數 N,沒有「剛好 N 級的十全數」存在?


 
(延伸的問題好像越來越多了…留給有足夠興趣又是高手朋友解決囉。)
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