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積木的個數數學謎題

答對率:62%

有一陣子小孩之間流行玩積木,有許多積木的小朋友總是被投以羨慕的眼光。這些積木都是大小相等的正方體,可以用來拼成各種東西。

有一天,郭芙帶著自己的積木來找楊過玩。
但是楊過卻沒有很想理她,他逕行用自己的積木拼成 4 個相同的大長方體,剛好用完他自己的積木。
郭芙看了,發現楊過拼的長方體,長、寬、高用到的積木個數都不相同,而且都是質數;她覺得有趣,也用自己的積木,依樣畫葫蘆地拼成 4 個和楊過相同的長方體。不過拼完之後還剩下一些積木。(楊過心想:幹什麼學我?)
郭芙又看看這些積木,數了一數,然後用笑著對楊過說:「你瞧!現在我的積木數量是一個平方數;如果你把你的積木都給我,那麼我的積木數量還是一個平方數。把你的積木給我好不?」
楊過白了她一眼,說:「見鬼!妳剛才用妳的積木拼完長方體之後,剩下的積木數量也還是一個平方數。妳的積木明明就比較多,怎麼不是妳把積木給我呢?」

然後,兩個人就開始吵架了...…

那麼,請問郭芙有多少塊積木呢?
 
mightqxc2014-02-12提供(2014-02-14修改)
看答案
169
 

這題可以先用嘗試的找解。已知楊過的積木數是 4x(三個相異質數的積),故最少是 4×2×3×5 = 120 塊,就先假設是這是對的。
郭芙的積木數量是平方數,設 y2 個;另外,郭芙與楊過的積木數量的和與差都是平方數,故假設  x < y < z ,都是正整數,並有:
y2 - 120 = x2  ;  y2 + 120 = z2    。移項後用乘法公式,得:
(y-x)(y+x) = 120 ; (z-y)(z+y) = 120
注意到 (y-x), (y+x) 必同為奇數或偶數,既然乘積是 120 ,故都是偶數 ( (z-y), (z+y) 同理也是)。所以,就把 120 分成兩個偶數的乘積:
120 = 2 × 60 = 4 × 30 = 6 × 20 = 10 × 12
所以可能的 (x,y) 有 (29,31)、(13,17)、(7,13)、(1,11) 四種可能。
同理, (y,z) 也有上面四種可能。
但是因為 (x,y) 和 (y,z) 中的 y 是同一個,故唯有 (x,y,z) = (7,13,17) 一解。

所以若楊過有 120 塊積木時,郭芙有 y2 = 169 塊積木。

解析的方法會更正式,並會證明這是唯一的解。
 

解析

我要編輯

因為郭芙的積木數量為平方數,可以假設她有 y2 塊積木,y 是正整數。並且假設楊過有 n 塊積木。
從他們的對話得知,郭芙與楊過積木數量的和與差都是平方數,故可以假設:
(i)  x2 = y2 - n ; z2 = y2 + n ,x, z 是正整數。

把 (i) 的兩式聯立消去 n ,得 y2 - x2 = z2 - y2 ,用乘法公式,得 (y-x)(y+x) = (z-y)(z+y) 。
再將上式移項變成相除之後,令其最簡分數是 u / v  (亦即 u, v 是互質的正整數):
(ii)  (y+x) / (z-y) = (z+y) / (y-x) = u / v

把 (ii) 的兩式 (兩個等號) 交叉相乘整理一下,把 u, v 當係數,x, y, z 當變數,寫成 ...x + ... y + ... z = ... 的型式:
(iii)  ux + (v-u) y + vz = 0  ;   vx + (u+v) y - uz = 0

將 (iii) 兩式聯立,解 x, y, z。雖然只有兩個方程式不夠解出三個未知數,但是常數項剛好是 0 ,所以至少能解出 x, y, z 的比例,令其比值為最簡分數 a / b ,a, b 是互質正整數: (可以用加減消去來解聯立;但若會高中向量的話,把兩式的係數當成向量,然後外積便是。)
(iv)  x / (u2 -2uv -v2) = y / (u2 + v2) = z / (u2 + 2uv -v2) = a / b

因為 (iv) 中的三個分母的最大公因數就是 b。用輾轉相除法的觀念化簡 (即相加相或減後公因數不變) ,先看第一個和第三個分母,可得:
b 要整除 (u2 -2uv -v2) - (u2 +2uv - v2) = 4uv
再把第二個分母考慮進來,得:
(v)  b 要整除 gcd(4uv,u2 + v2)      ,這裡 gcd 是最大公因數的意思。

注意到 u, v 是互質的,故 u-v 與 u, v 都會互質,故 gcd(uv, u2 + v2) = gcd(uv, u2 - 2uv + v2) = gcd(uv, u-v) = 1
因此得到:
(vi)  gcd(4uv,u2 + v2) = gcd(4,u2 + v2)  = 1 或 2
u, v 都是奇數時,上式等於 2 ;一奇一偶時上式等於 1 (不難證,留給有興趣的朋友)。因為 u, v 互質,不可能同為偶數。

根據 (v) 和 (vi),得:
(vii)  b = 1 或 2         (u, v 都是奇數時,等於 2 ;一奇一偶時等於 1)

再從 (iv) 和 (vii),就得到 x, y, z 的正整數解形式了 (注意 a 是正整數)。然後根據 (i) ,把 n 也算出來 (用平方差公式化簡後因式分解即可),整理如下表:
 
(viii) 當 u, v 都是奇數時 當 u, v 是一奇一偶時
x, y, z  x = a (u2 -2uv -v2) / 2
y = a (u2 + v2) / 2
z = a (u2 + 2uv -v2) / 2
 x = a (u2 -2uv -v2)
y = a (u2 + v2)
z = a (u2 + 2uv -v2)
n a2uv(u+v)(u-v) 4a2uv(u+v)(u-v)

另外,從楊過拼的長方體可知他的積木數量是三個不同質數的積的 4 倍,故:
(ix)  n = 4pqr      , p, q, r 是三個不同的質數。

根據 (viii) 和 (ix) ,聯立就能解 n 了。不妨先假設 u, v 都是奇數時的情況,得:
(x)  4pqr = a2uv(u+v)(u-v) 
注意上式等號左邊具有的因數中,是平方數的只有 1 和 4 (因為 p, q, r 是相異質數,就算其中一個是 2 也一樣。);因此從等號右邊可得到 a = 1 或 2

當 a = 2 時:  pqr = uv(u+v)(u-v)
很顯然上式等號右邊的四個數 {u, v, (u+v), (u-v)} 就是正整數 {1, p, q, r} (沒有照順序)。
但是這四個數中較大的兩個 (u+v), u 不能是 1;且因 u, v 都是奇數, u-v 是偶數,也不能是 1。
故唯有 v = 1,因為 u 和 (u-v) 都要是質數,故唯有 u = 3 ;但這樣一來 (u+v) = 4 並非質數,不合。
故 a = 2 時無解。

當 a = 1 時:  4pqr = uv(u+v)(u-v)
留意到因為 u, v 互質,故上式等號右邊的四個數彼此都要互質,所以 {u, v, (u+v), (u-v)} 就是 {1, 4p, q, r}  或 {4, p, q, r}  或 {1, 2p, 2q, r} 或 {2, 2p, q, r} 四種狀況 (沒有照順序)。
 {1, 4p, q, r} 的狀況:只有 v 可能是 1 (理由同上);設 v = 1:因為 u-v 和 u+v 是偶數,且分別要是 4p 和另一質數,故唯有 u-v = 2 、u = 3,但此時 u+v = 4 ≠ 4p ,不合。因此 {1, 4p, q, r} 的狀況無解。
 {4, p, q, r} 的狀況:因為 u-v 和 u+v 是偶數,且分別要是 4 和另一質數,故唯有 u+v = 4、u-v = 2、u = 3、v = 1;但此時 v = 1 並非質數,故不合。因此 {4, p, q, r} 的狀況無解。
 {1, 2p, 2q, r} 的狀況:只有 v 可能是 1 (理由同上);設 v = 1:因為 u-v 和 u+v 是偶數,所以分別是 2p 和 2q,故唯有 u-v = 4、u+v = 6、u=5、v=1 一組解。
代回 (viii) ,得兩人積木數量的解:
n = 12×5×1×6×4 = 120  ;  y2 = (1 (52 + 12) / 2)2 = 169。

再來假設 u, v 是一奇一偶的情況,得:
(xi)  pqr = a2uv(u+v)(u-v) 

明顯上式中必然有 a = 1 ;也有 {u, v, (u+v), (u-v)} 就是正整數 {1, p, q, r},且較大的兩個 (u+v), u 不能是 1。
如果是 v = 1,因為 u 和 (u-v) 都要是質數,故唯有 u = 3 ;但此時 u, v 並非一奇一偶,不合。
故唯有 u-v = 1、 u = 3、v  = 2 、u+v = 5 一種解。
代回 (viii) ,得兩人積木數量的解:
n = 22×3×2×5×1 = 120  ;  y2 = (2 (32 + 22) / 2)2 = 169。

所以無論哪一種狀況,都得到 楊過有 120 塊、郭芙有 169 塊積木。
 
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