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由1和0組成的倍數數學謎題

答對率:56%
對於任意一個正整數N,
我們一定可以找到一個倍數他完全是由1和0所構成,
例:
N=3,則可找到1110這個數字是由1和0所構成且為3的倍數。
N=4,則可找到100這個數字是由1和0所構成且為4的倍數。
怎麼知道這是對的?又怎麼找到這種數字呢?
urostigma(榕樹子)2015-04-07提供
看答案
若給予一個正整數N,
可以先列出1到N+1位數且完全由1所組成的數字,
例:N=7則可列出1、11、111、1111、11111、111111、1111111、11111111
再將每個數字都除7再取餘數,
由於「鴿籠原理」,共有N+1個數字而餘數可能性只有N個(0到N-1),
所以必定有兩個數字取的餘數相同,
當N=7時,各數字的餘數依序為1、4、6、5、2、0、1、4,
此時取出兩個數且餘數相同者作相減的動作(大減小),
即可得出是由1和0所組成的數字且可被N整除,
利用這方式可得出1111110和11111100是7的倍數且由1和0所構成。

解析

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