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箏形土地數學謎題

答對率:68%
一個箏形(鳶形)土地ABCD。其中有一直線圍欄連接AC恰使此土地的面積二等分。現在如果拆除此圍欄,改從B點作一直線,將此土地面積二等分。請問應如何做?
ms0592138(小分/阿分/繽紛)2013-07-20提供(2013-08-04修改)
看答案

BG即為所求。

解析

我要編輯
作AC中點E,連接BE及ED。
∴△BEC=1/2 △ABC
△DEC=1/2 △ADC
∴ △BEC+△DEC=1/2箏形ABCD
過E作FG平行BD交BC於F,交CD於G。
==>△BEG=△DEG(同底等高)
連接BG
1/2箏形ABCD
=△BEC+△DEC
=△BEC+△EGC+△DEG
=△BEC+△EGC+△BEG
=△BCG
--------------------------------------------------------------------------------------------
以下是直接證明:

首先,假設BE將箏形ABCD面積切半且EG和BD垂直於G,所以四邊形ABED和三角形ACD面積相等
也就是 1/2 * BD * AF + 1/2 * BD * GE = 1/2 * FD * AC  (1)
而 1/2 * BD = FD ,所以(1)式可簡化成 AF + GE = 1/2 * AC  (2)

AC和GE都與BD垂直,所以AC和GE平行,再配合(2)式
知道E會映射到AC上的中點,因此證明完畢
 
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