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化月為方數學謎題

答對率:75%
我們都知道,「化圓為方」是古希臘數學裡尺規作圖領域當中的三大難題之一,如今已經被數學家證明不可能完成。然而有一件事並非眾所皆知,那就是我們其實可以「化月為方」!

下圖中,OA為圓O的半徑,在AO的延長線(圓內)上取一長度AC,以AC為半徑畫弧,交圓O於E、F,再以AC為對角線作出正方形ABCD。
試證明:若E、O、F三點共線,則紅色新月形面積藍色正方形面積

 
wangmath99(兆兆)2018-07-21提供
來源:其實是本人高一時自創的喔!若有雷同,純屬巧合~
看答案
請見解析~

解析

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 參見下圖,並閱讀以下解題步驟:
  1. 連接AE、AF和EF,由於E、O、F共線,EF必為圓O之直徑,
    故∠EAF=90°(圓周角定理),
    且因為AE=AF,故∠OEA=∠OFA=45°,
    又因為OE=OA=OF=圓O半徑,
    故△OAE和△OAF皆為等腰直角三角形,
    得∠OAE=∠OAF=45°=∠OAB=∠OAD,
    因此A、B、E共線,A、D、F也共線。
  2. 由於
    ∠BAC=∠OAE(共用角),
    AC=AE,
    ∠ACB=∠AEO=45°,
    故△AOE全等於△ABC(ASA全等),得AB=AO
  3. 設圓O半徑OA=r,則紅色彎月形面積
    =左上半圓EOF+△AEF-四分之一圓AECF
    =(1/2)πr2 + (1/2)(√2 r)2 - (1/4)π(√2 r)2
    (1/2)πr2 + r2- (1/2)πr2
    =r2=正方形ABCD之面積
    ~Q.E.D.(證明完畢)~
~抱歉第一次寫的解析邏輯論證有誤(不嚴謹),已修正步驟1.~

※延伸閱讀:
 本題的原理其實源自於該謎題,而此原理其實又是來自於希波克拉底的「月牙定理」,只是其中的三角形剛好是等腰直角三角形時再切一半的情況。而我其實只是剛好發現這半個等腰直角三角形可以變成剛好內接的正方形而已~
 然而這一題真的是本人高一時在沒有參考以上資料的情況下自己無聊畫圖時發現的喔~(滿滿成就感)
 另外,以嚴格的數學角度來說,我們只能將任意的正方形化為特定形狀的月,而不能將任意形狀的月以尺規作圖畫出等面積的正方形(例如「很瘦」的新月),所以其實是「化方為月」。
 有興趣者還可以拜訪網站1網站2作延伸閱讀喔~
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