化月為方謎題解析--GameSchool遊戲學校

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化月為方 - 謎題解析

參見下圖，並閱讀以下解題步驟：<img src="https://i.imgur.com/gd6iADB.png" style="height:600px;width:600px;" alt="" /><ol><li>連接AE、AF和EF，由於E、O、F共線，EF必為圓O之直徑， 
故∠EAF＝90°（圓周角定理）， 
且因為AE＝AF，故∠OEA＝∠OFA＝45°， 
又因為OE＝OA＝OF＝圓O半徑， 
故△OAE和△OAF皆為等腰直角三角形， 
得∠OAE＝∠OAF＝45°＝∠OAB＝∠OAD， 
因此A、B、E共線，A、D、F也共線。</li>
<li>由於 
∠BAC＝∠OAE（共用角）， 
AC＝AE， 
∠ACB＝∠AEO＝45°， 
故△AOE全等於△ABC（ASA全等），得AB＝AO。</li>
<li>設圓O半徑OA＝r，則紅色彎月形面積 
＝左上半圓EOF＋△AEF－四分之一圓AECF 
＝(1/2)πr2 + (1/2)(√2 r)2 - (1/4)π(√2 r)2 
＝(1/2)πr2 + r2- (1/2)πr2 
＝r2＝正方形ABCD之面積 
～Q.E.D.(證明完畢)～</li>
</ol><div style="text-align:center;">～抱歉第一次寫的解析邏輯論證有誤(不嚴謹)，已修正步驟1.～</div><hr />※延伸閱讀： 
　本題的原理其實源自於<a href="http://gameschool.cc/puzzle/1602/" target="_blank">該謎題</a>，而此原理其實又是來自於<a href="http://gameschool.cc/puzzle/4539/" target="_blank">希波克拉底的「月牙定理」</a>，只是其中的三角形剛好是等腰直角三角形時再切一半的情況。而我其實只是剛好發現這半個等腰直角三角形可以變成剛好內接的正方形而已～ 
　然而這一題真的是本人高一時在沒有參考以上資料的情況下自己無聊畫圖時發現的喔～(滿滿成就感<img class="mo_smile mood" src="/images/_.gif" alt="" />) 
　另外，以嚴格的數學角度來說，我們只能將任意的正方形化為特定形狀的月，而不能將任意形狀的月以尺規作圖畫出等面積的正方形（例如「很瘦」的新月），所以其實是「化方為月」。 
　有興趣者還可以拜訪<a href="http://milkspace.com/imaths/thm8.htm" target="_blank">網站1</a>和<a href="http://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/vol6no6b.htm" target="_blank">網站2</a>作延伸閱讀喔～

備註

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