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向量序列找規律謎題

答對率:略
有一組有限項數的向量序列V:
(4,-1), (-2,0), (0,1), (0,1), (1,-1), ……, (-3,-2), (-2,2), (0,-2), (4,2), (-5,-2)
請找出上述序列的規律並回答以下問題。

(1) 序列V共有幾項?
(2) 序列V中長度最長的向量是?
(3) 序列V中有幾個長度為1的向量?

若另有一組向量序列S,第n項為向量序列V前n項的總和,
即向量序列S為:(4,-1), (2,-1), (2,0), (2,1), (3,0), ……
則:

(4) 序列S最後一項為?
(5) 序列S中有幾項相同(存在其他項與該項相等)?
(6) 序列S中相異任意兩項相減可得到幾種不同的向量?

※向量為具有大小及方向的一種概念,
 關於數學裡向量相關資料可參照維基百科的向量空間
 此外還有影片介紹。(感謝b6d950(三雲 修)提供資訊)
jen8810556(耀☆羽)2018-06-13提供(2018-06-14修改)
看答案
(1) 25項
(2) (-9,0)
(3) 8個

(4) (0,-1)
(5) 0項
(6) 84種

解析

我要編輯
(1)
這組序列的向量定義在鍵盤上,
並將向量ZX定義為(1,0),向量ZA定義為(0,1)。
而序列V的第n項即為第n個字母到第n+1個字母的向量,
因此總共有25項。

(2)
根據定義的向量座標找出距離最長的相鄰2字母為P和Q,
因此答案為向量PQ=(-9,0)。

(3)
當2字母位置相鄰時,得到的向量會是(1,0),(-1,0),(0,1)或(0,-1),這些向量的長度都是1,
鍵盤中相鄰2字母同時位於相鄰位置的有:CD、DE、FG、GH、JK、KL、MN、OP,
因此答案總共有8個。

(4)
序列S最後一項即為序列V所有向量總和,
向量AB+向量BC+……+向量YZ=向量AZ=(0,-1)。
實際上,序列S的第n項即為A到第n+1個字母的向量。

(5)
因為序列S的定義,A到相異字母的向量都不相同,
因此得到答案為0項。

(6)
若A,α,β為座標上的點,則向量Aα-向量Aβ=向量βα,
因此可能出現的向量為B到Z 25個字母中任意2個字母產生的向量。
y方向位移量為2時,x方向位移量為-6到9(向量MQ和向量ZP),有16種;
y方向位移量為1時,x方向位移量為-8到8(向量LQ和向量SP),有17種;
y方向位移量為0時,x方向位移量為-9到9(向量PQ和向量QP),
且因題目要求為相異2項,因此必須去掉(0,0),故有18種;
y方向位移量為-1和-2時,可由1和2時逆推,
得到x方向位移量分別為-8到8及-9到6,有17和16種。
因此可能得到的向量有16+17+18+17+16=84種。
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