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相遇問題進階版數學謎題

答對率:67%
有甲、乙、丙三人,他們分別每3、4、5天會到同一座公園散步。
例:甲乙丙三人都在1/1那天到那座公園散步,下一次甲會在1/4、乙會在1/5、丙會在1/6分別到那座公園散步。
若不考慮因故不符合規律等情形,
請回答下列問題:

(1)若甲、乙、丙三人若都在2011/1/5星期三那天到公園散步,下一次甲、乙、丙都在星期三散步的那一天日期為何?

(2)若甲、乙、丙三人若都在2014/1/30那天到公園散步,下一次甲、乙、丙都在30號散步的那一天的日期為何?

(3)若甲、乙、丙三人若都在2001/3/30那天到公園散步,下一次甲、乙、丙都在30號散步的那一天日期為何?

(4)若甲、乙、丙三人若都在2000/3/1那天到公園散步,下一次甲、乙、丙都在3/1散步的那一年是哪一年?

(5)若甲、乙、丙三人若都在1896/1/1那天到公園散步,下一次甲、乙、丙都在1/1散步的那一年是哪一年?
jen8810556(耀☆羽)2014-03-10提供
來源:自己想的,花了滿久時間處理的
看答案
(1)2012/2/29
(2)2014/4/30
(3)2006/10/30
(4)西元2023年(民國112年)
(5)西元1919年(民國8年)

解析

我要編輯
(1) 先找出甲、乙、丙和星期六輪迴的最小公倍數:[3,4,5,7]=420
過了一年到2012/1/5:420-365=55
過了一個月到2012/2/5:55-31=24
因當年閏年所以過完24天後到2012/2/29

(2)先找出三人同天到公園的最小公倍數[3,4,5]=60
31+28+31+30為60的公倍數,所以解為4/30
也可設30為1/2x或x為基準值用+1或-2來找到x或2x的公倍數

(3)同(2)解法
一年內都無法將除以60的餘數歸零,一年後餘數為5,
過了五年後到2006/3/30:(365+365+366+365+365)/60…26
接著要讓餘數+34,要找到奇數個月且裡面有四個31天
再度從三月算起:31+30+31+30+31+31+30符合此條件,可將餘數清除
所以2006/10/30他們會同一天去散步

(4)因為365只能被5整除,要被4整除必須要湊齊4年
但第4年又會有366天,所以必須以365+365+365+366=1461為一輪迴
1461除以4餘1,除以5餘1;365除以3餘1,除以4餘1
5次輪迴後除4餘1(此時可被3、5整除)
再加上剛好3個平年除4共餘3(也可被3、5整除)
解就為5*4+3=23年後
所以2000+23=2023年他們會在同一個日期重逢

(5)同(4)解法,366+365+365+365=1461
不過這次有個1900年平年,所以會有其中四年會用1460天計算
1461除以4餘1,除以5餘1;365除以3餘1,除以4餘1;
1460除以3餘2;366除以3餘2,除以4餘2,除以5餘1
1461+1460+1461+1461+1461+366+365+365
除以3=(整除)+(餘2)+(整除)+(整除)+(整除)+(餘2)+(餘1)+(餘1)=餘6=整除
除以4=(餘1)+(整除)+(餘1)+(餘1)+(餘1)+(餘2)+(餘1)+(餘1)=餘8=整除
除以5=(餘1)+(整除)+(餘1)+(餘1)+(餘1)+(餘1)+(整除)+(整除)=餘5=整除
所以4+4+4+4+4+1+1+1=23年後會在同一日期重逢
1896+23=1919年

如有需要更正之處歡迎網友修正或補充!
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