上一道數學謎題
下一道數學謎題

這一位數是…數學謎題

答對率:50%
今年是 2013 年~
寫下一個很大的數字: 「12345678910111213…20122013」 ( 從 1 一直寫到 2013 )。
現在把這個數做一個運算: 把第一位數(1) 乘以 2 (等於2) ,加上下一位數(2) (等於4),再乘以2 (等於8),再加下一位數(3) (等於11)…… 最後,加上原本最後一位數 (3),會得到一個新的數 (也很大的樣子)。
再把這個新的數,如以上方式運算 (第一位乘以2 加下一位 再乘2 再加下一位…),又會得到新的數。
再重覆一樣的做法..…。
直到最後得到的新數只剩「一位數」 (即0~9),便停止 (因為也不能繼續了)。

那麼,這一位數是多少?

舉例: 如果一開始的數是 2457
( ( 2 x 2 + 4) x 2 + 5) x 2 + 7 = 49 ,第一次算完得到 49。再把 49 用同樣的運算:
4 x 2 + 9 = 17 ,得到 17。再把 17 用同樣的運算:
1 x 2 + 7 = 9 ,得到 9。因為只剩一位數,故停止運算,最後得到的結果就是 9 。

P.S. 會算的朋友們請先不要在留言版說出算法,讓其它朋友可以想想,待公布答案後歡迎把你的算法寫成解析 XD 。但是在留言版 寫點提示 、心得 或 只猜答案不寫算法 則沒關係。
 
mightqxc2013-06-29提供(2013-07-01修改)
來源:科普書籍
看答案
5
大家如果多試幾個數字,可以發現,每經過一次運算,運算前的數字 和 運算後結果的數字 除以 8 的餘數是一樣的 (詳細原因如下解析;如果你想自己想出為什麼,提示你 關鍵是 「10 - 2 = 8」)。
因為「123…2013」除以 8 餘 5 (看最後三位即可),經過許多次這樣的運算後,剩下一位數 也要除以 8 是餘 5 的。因此它就是 5。

解析

我要編輯
設一開始的數字是n+1位數anan-1...a3a2a1a0
a0至an代表0~9其中一個數字(可以重複)。
經過運算後,新的數字為((((...((an)*2+an-1)*2+...)*2+a3)*2+a2)*2+a1)*2+a0
=an*2n+an-1*2n-1+...+a3*23+a2*22+a1*21+a0*20
設m+1位數bmbm-1...b3b2b1b0=an*2n+an-1*2n-1+...+a3*23+a2*22+a1*21+a0*20
b0至bm代表0~9其中一個數字(可以重複)。

bm*10m+bm-1*10m-1+...+b3*103+b2*102+b1*101+b0*100=an*2n+an-1*2n-1+...+a3*23+a2*22+a1*21+a0*20

bm*10m+bm-1*10m-1+...+b3*103+b2*102+b1*101+b0*100≡an*2n+an-1*2n-1+...+a3*23+a2*22+a1*21+a0*20 (mod 8)  (這是同餘方程,詳細請看http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E9%A4%98)

因為對於n>2的整數都有10n≡0 (mod 8) 和 2n≡0 (mod 8),
所以b2*100+b1*10+b0≡a2*4+a1*2+a0 (mod 8)。
因為100≡4 (mod 8) 和 10≡2 (mod 8),
所以b2*100+b1*10+b0≡a2*100+a1*10+a0 (mod 8)。
由此可見無論經過多少次運算,新的數字最右的三位數和開始的數字最右的三位數對模8必定同餘,
即是說新的數字和開始的數字對模8必定同餘。
因為大於9的整數經過運算後數值一定會減少,
所以經過有限次運算後數值會變成一位數。
在0~9中因為2,3,4,5,6或7不會和其他數字對模8同餘,
所以如果開始的數字和2,3,4,5,6或7對模8同餘,
經過多次運算後一定等於開始的數字除以8的餘數。
在這題目中,開始的數字最右的三位數是013。
因為13≡5 (mod 8),所以答案是5。
0,1,8,9的情況則由讀者自己想。
3,986
上一道數學謎題
下一道數學謎題