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數列 & 數列數學謎題

答對率:78%

現今欲選取一個 「非負的整數遞增數列」(每項皆為大於等於零的整數,且後項皆不小於前項)。如果你今年很幸運,或許能夠選到一個特別的數列。

我先選一個作示範,例如:本題的出題日期是 2014 年 2 月 4 日 ,在 GS 的網址謎題序號為 1985,把這些數字由小到大排成數列: 0, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 5, 8, 9, ... ,稱之數列 A  (由第零項開始 A0 = 0,A1 = 1,…)

接著做一個操作,由 A 來製造另一個數列 B 。決定數列 B 中的第 i 項 Bi 的方法是:
「在數列 Ai 中,不大於 i  的項共有 Bi 個」

例如: A 中只有 1 項不大於 0 (即第一項),故 B0 = 1;A 中有 3 項不大於 1 (即前三項),故 B1 = 3;A 中有 5 項不大於 2 (即前五項),故 B2 = 5;以此類推,得數列 B 為 1, 3, 5, 5, 7, 8, 8, 8, 9, ...。
 

現在,請你幫忙將上面的數列 B 再做一次同樣的操作,算出數列 C (即在數列 B 中,不大於 i  的項共有 Ci 個),與 A 比較一下。有沒有發現什麼呢?

想必是有的,因為我選的非負整數遞增數列 A 是特別的。換言之,我算是滿幸運的 (至少在出本題的時候)。

順帶一提,質數數列:2, 3, 5, 7, 11, 13, ... 和費氏數列:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... ,若是做如上述的操作 (兩次) 的話,同樣可以發現它們都是特別的。

最後,你何妨也自行選一個非負整數遞增數列 (可以用你的生日、身分證號碼、幸運數字等等) ,操作看看是否是特別的?或許你今年特別走運?!
 
mightqxc2014-02-04提供(2014-02-08修改)
來源:科普書籍
看答案
不可思議的是,C 與 A 為完全相同的數列。

你自己選的數列,操作兩次之後是否如此呢?
 

解析

我要編輯
其實任何一個非負整數遞增數列,都具有這個性質:如題目的操作兩次後,會得到與原先相同的數列。

以下提供證明: (不難)
令原數列為 A ,經過一次操作所得數列為 B ,可以證明有以下性質:

I) B 亦為非負整數遞增數列。
II) 對於任意兩個非負整數 m, n ,「Am < n+1」 若且唯若 「Bn ≥ m+1」。

第一點較明顯,在此略過。這裡證明第二點:
對於任意非負整數 m, n,假設「 Am < n+1 」命題成立,即 A0, A1, ..., Am  (共 m+1 項) 都不大於 n ,表示 A 中至少有 m+1 項不大於 n ,根據數列 B 的定義,可得出 「Bn ≥ m+1」。
反過來,假設 「Bn ≥ m+1」命題成立,表示數列 A 中至少有 m+1 項不大於 n ;因為 A 是遞增數列,故可得到它的前 m+1 項 (A0~Am) 都不大於 n ,也就有 「Am < n+1」。
因此第二點「若且唯若」得證。

如今對數列 B 再做一次操作得數列 C,一樣會滿足以上性質。因此,對於任意兩非負整數 m, n,以下兩個命題會成立:
1) 「Am < n+1」 若且唯若 「Bn ≥ m+1」
2) 「Bn < m+1」 若且唯若 「Cm ≥ n+1」    (注意這裡故意將 m, n 順序交換)

把 2) 的兩邊作否定 (或稱補集),得到: 
3) 「Bn ≥ m+1」 若且唯若 「Cm < n+1」。

再把 1) 與 3) 結合,得到:
4) 「Am < n+1」 若且唯若 「Cm < n+1」。

以上對於任意的 m, n 都要成立,A 與 C 又是整數遞增數列,故 4) 就意味著 A 和 C 必須是完全相同的數列。
 

所以,你不管選什麼數列,都會是特別的,也就是說你今年無論如何都會很幸運!

祝福各位新春愉快~
 
3,905
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