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如何編輯？
設一開始的數字是n+1位數a<sub>n</sub>a<sub>n-1</sub>...a<sub>3</sub>a<sub>2</sub>a<sub>1</sub>a<sub>0</sub>，<br /> a<sub>0</sub>至a<sub>n</sub>代表0~9其中一個數字(可以重複)。<br /> 經過運算後，新的數字為((((...((a<sub>n</sub>)*2+a<sub>n-1</sub>)*2+...)*2+a<sub>3</sub>)*2+a<sub>2</sub>)*2+a<sub>1</sub>)*2+a<sub>0</sub><br /> =a<sub>n</sub>*2<sup>n</sup>+a<sub>n-1</sub>*2<sup>n-1</sup>+...+a<sub>3</sub>*2<sup>3</sup>+a<sub>2</sub>*2<sup>2</sup>+a<sub>1</sub>*2<sup>1</sup>+a<sub>0</sub>*2<sup>0</sup><br /> 設m+1位數b<sub>m</sub>b<sub>m-1</sub>...b<sub>3</sub>b<sub>2</sub>b<sub>1</sub>b<sub>0</sub>=a<sub>n</sub>*2<sup>n</sup>+a<sub>n-1</sub>*2<sup>n-1</sup>+...+a<sub>3</sub>*2<sup>3</sup>+a<sub>2</sub>*2<sup>2</sup>+a<sub>1</sub>*2<sup>1</sup>+a<sub>0</sub>*2<sup>0</sup>，<br /> b<sub>0</sub>至b<sub>m</sub>代表0~9其中一個數字(可以重複)。<br /> <br /> b<sub>m</sub>*10<sup>m</sup>+b<sub>m-1</sub>*10<sup>m-1</sup>+...+b<sub>3</sub>*10<sup>3</sup>+b<sub>2</sub>*10<sup>2</sup>+b<sub>1</sub>*10<sup>1</sup>+b<sub>0</sub>*10<sup>0</sup>=a<sub>n</sub>*2<sup>n</sup>+a<sub>n-1</sub>*2<sup>n-1</sup>+...+a<sub>3</sub>*2<sup>3</sup>+a<sub>2</sub>*2<sup>2</sup>+a<sub>1</sub>*2<sup>1</sup>+a<sub>0</sub>*2<sup>0</sup><br /> <br /> b<sub>m</sub>*10<sup>m</sup>+b<sub>m-1</sub>*10<sup>m-1</sup>+...+b<sub>3</sub>*10<sup>3</sup>+b<sub>2</sub>*10<sup>2</sup>+b<sub>1</sub>*10<sup>1</sup>+b<sub>0</sub>*10<sup>0</sup>≡a<sub>n</sub>*2<sup>n</sup>+a<sub>n-1</sub>*2<sup>n-1</sup>+...+a<sub>3</sub>*2<sup>3</sup>+a<sub>2</sub>*2<sup>2</sup>+a<sub>1</sub>*2<sup>1</sup>+a<sub>0</sub>*2<sup>0</sup> (mod 8) (這是同餘方程，詳細請看http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E9%A4%98)<br /> <br /> 因為對於n>2的整數都有10<sup>n</sup>≡0 (mod 8) 和 2<sup>n</sup>≡0 (mod 8)，<br /> 所以b<sub>2</sub>*100+b<sub>1</sub>*10+b<sub>0</sub>≡a<sub>2</sub>*4+a<sub>1</sub>*2+a<sub>0</sub> (mod 8)。<br /> 因為100≡4 (mod 8) 和 10≡2 (mod 8)，<br /> 所以b<sub>2</sub>*100+b<sub>1</sub>*10+b<sub>0</sub>≡a<sub>2</sub>*100+a<sub>1</sub>*10+a<sub>0</sub> (mod 8)。<br /> 由此可見無論經過多少次運算，新的數字最右的三位數和開始的數字最右的三位數對模8必定同餘，<br /> 即是說新的數字和開始的數字對模8必定同餘。<br /> 因為大於9的整數經過運算後數值一定會減少，<br /> 所以經過有限次運算後數值會變成一位數。<br /> 在0~9中因為2,3,4,5,6或7不會和其他數字對模8同餘，<br /> 所以如果開始的數字和2,3,4,5,6或7對模8同餘，<br /> 經過多次運算後一定等於開始的數字除以8的餘數。<br /> 在這題目中，開始的數字最右的三位數是013。<br /> 因為13≡5 (mod 8)，所以答案是5。<br /> 0,1,8,9的情況則由讀者自己想。
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