證明一：
在國中時所學到的商高定理a²+b²=c²中，
使我們得知直角三角形的三邊關係。
那麼除了1和2外，
所有正整數必能有另兩個正整數能和選擇的數形成直角三角形嗎？
回答後並試著證明。

一、用遞迴關係式證明
an=n²的遞迴關係式為a1=1，an=an-1+(2n-1)（n≧2）或an+1=an+(2n+1)（n≧1）
即平方數為1,3,5,7,9……由1開始的連續奇數相加構成，
得知任意奇數都能由某組兩相鄰平方數相減獲得。
又因為所有奇數平方都是奇數，
因此得證至少有一組相鄰平方數，相減後為指定的奇數之平方。
而偶數的話其平方可以由兩個連續奇數相加得到，
不過我們主要只需要找4，4²=8×2=7+9，
而根據遞迴關係式得到3²和5²的差即為7+9=4²，
因此得到4可以找到其他2個正整數與其形成直角三角形（其實這就是常背的3²+4²=5²）。
接下來所剩的所有偶數，都可透過奇數或4的該組a²+b²=c²算式，
同乘以4ⁿ倍獲得（n為正整數），因此得證之。

二、用平方差公式證明
平方差公式為a²-b²=(a+b)(a-b)
因此當所求正整數c，c²=a²-b²並令a,b皆為正整數時，
就能找到a和b能和c形成直角三角形。
令a-b=1時，則a-1=b，a+b=2a-1必為奇數，
因為奇數平方必為奇數，因此可以找到(a-b)(a+b)為一奇數的平方。
偶數部分只需要找到c=4即可，
則令a-b=2，則a-2=b，a+b=2a-2，(a+b)(a-b)=4a-4，
當4a-4為4²=16時，可以得到a=5，b=3。
而其他c為偶數時，可以從4或奇數平方部分將整個算式同乘以4ⁿ得到所求的c值，
因此得證之。

附錄：
那為何1和2無法找到其他兩個正整數組合成直角三角形呢？
其實透過上面兩種證明法均可得證。
遞迴證明：
所找出差距為1和4的組合分別只有0配1和0配2
（因為相鄰平方數差距，在1和3之後，剩餘的都比4大）
但三角形中不得有任一邊為0，因此得證。
平方差證明：
當c=1或2時，所得到的b都會=0，但三角形中不得有任一邊為0，因此可得證。


問題二：
已知有一個直角三角形，斜邊外的其中一邊為√(2n)，n是正整數且為奇數，
則另外兩邊是否必定至少有一邊不是整數？
回答後並試著證明。

a²+b²=c²為商高定理公式，將a代入√(2n)，
得2n+b²=c²，之後兩邊同減b²變為c²-b²=2n
而n是奇數，所以可以解釋成2n除以4餘2
（令n=2m-1且m為正整數，2n=4m-2=4(m-1)+2，得證2n除4餘2）
接下來得用以下兩種證明法繼續證明：

一、用和的平方公式證明
某數為奇數時，用2x-1來表示（x為正整數），
其平方除以4的餘數即為(2x-1)² mod 4=(4x²-4x+1) mod 4=[4(x²-x)+1] mod 4 =1；
（x mod y代表x除以y所得到的餘數）
某數為偶數時，用2y來表示（y為正整數），
其平方除以4的餘數即為(2y)² mod 4 =4y² mod 4 =0。
接著考慮奇偶相減的四種情況：
(1)奇減奇：[(2x-1)² - (2y-1)²] mod 4 =(1-1) mod 4=0
（mod有(x+y) mod z=x mod z + y mod z的性質）
(2)奇減偶：[(2x-1)² - (2y)²] mod 4 =(1-0) mod 4=1
(3)偶減奇：[(2x)² - (2y-1)²] mod 4 =(0-1) mod 4=3
(4)偶減偶：[(2x)² - (2y)²] mod 4 =(0-0) mod 4=0
沒有能餘2的結果，因此得證之。

二、用平方差公式證明
x²-y²=(x+y)(x-y)=(x+y)[(x+y)-2y]（x、y皆為正整數）
可以知道x²-y²為兩個相差2y的數相乘，
因此該兩數必同為奇數或同為偶數。
同為奇數時相乘必為奇數，因此除以4不可能餘2；
同為偶數時，兩數質因數分解後2的指數部分至少為1，
而相乘後2的指數部分就至少為1+1=2，
而2²即是4，因數有4時即會被4整除。
從以上兩種可能來看都不會出現餘2的情形，故得證之。


問題三：
試找出直角三角形斜邊外的其中一邊為下列數字時，其他兩邊均為整數的所有組合。

當指定的數字為√k時，令另外兩邊為p和q，且p為斜邊，
則p²-q²=k，(p+q)(p-q)=k，令r=(p-q)，則r(r+2q)=k，
之後只要將k拆成兩相異奇數或兩相異偶數相乘，即可得到答案。

(1)71²=1×5041，解為(2520,2521)
(2)2³×13=4×26=2×52，解為(11,15)和(25,27)
(3)5×19²=19×95=5×361=1×1805，解為(38,57)、(178,183)和(902,903)
(4)2093=7×13×23=23×91=13×161=7×299=1×2093，解為(34,57)、(74,87)、(146,153)和(1046,1047)