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平方趣味3:差值運用法數學謎題

答對率:78%
前作:平方趣味1:初步辨認法平方趣味2:快速心算法

在前兩次的題目中已經能夠初步辨認和進行速算了,
那麼接下來就是要運用平方的差值特性。

問題一:
在國中時所學到的商高定理a2+b2=c2中,
使我們得知直角三角形的三邊關係。
那麼除了1和2外,
所有正整數必能有另兩個正整數能和選擇的數形成直角三角形嗎?
回答後並試著證明。

問題二:
已知有一個直角三角形,斜邊外的其中一邊為√(2n),n是正整數且為奇數,
則另外兩邊是否必定至少有一邊不是整數?
回答後並試著證明。

問題三:
試找出直角三角形斜邊外的其中一邊為下列數字時,其他兩邊均為整數的所有組合。
(1)71
(2)2√26
(3)19√5
(4)√2093
jen8810556(耀☆羽)2015-10-09提供(2018-07-31修改)
來源:自己
看答案
答案一:
是,證明見解析。

答案二:
是,證明見解析。

答案三:
下方答案將用(a,b)來表示a和b為其中一組解且b為斜邊。
(1) (2520,2521)
(2) (11,15)和(25,27)
(3) (38,57)、(178,183)和(902,903)
(4) (34,57)、(74,87)、(146,153)和(1046,1047)

解析

我要編輯
證明一:
在國中時所學到的商高定理a2+b2=c2中,
使我們得知直角三角形的三邊關係。
那麼除了1和2外,
所有正整數必能有另兩個正整數能和選擇的數形成直角三角形嗎?
回答後並試著證明。

一、用遞迴關係式證明
an=n2的遞迴關係式為a1=1,an=an-1+(2n-1)(n≧2)或an+1=an+(2n+1)(n≧1)
即平方數為1,3,5,7,9……由1開始的連續奇數相加構成,
得知任意奇數都能由某組兩相鄰平方數相減獲得。
又因為所有奇數平方都是奇數,
因此得證至少有一組相鄰平方數,相減後為指定的奇數之平方。
而偶數的話其平方可以由兩個連續奇數相加得到,
不過我們主要只需要找4,42=8×2=7+9,
而根據遞迴關係式得到32和52的差即為7+9=42
因此得到4可以找到其他2個正整數與其形成直角三角形(其實這就是常背的32+42=52)。
接下來所剩的所有偶數,都可透過奇數或4的該組a2+b2=c2算式,
同乘以4n倍獲得(n為正整數),因此得證之。

二、用平方差公式證明
平方差公式為a2-b2=(a+b)(a-b)
因此當所求正整數c,c2=a2-b2並令a,b皆為正整數時,
就能找到a和b能和c形成直角三角形。
令a-b=1時,則a-1=b,a+b=2a-1必為奇數,
因為奇數平方必為奇數,因此可以找到(a-b)(a+b)為一奇數的平方。
偶數部分只需要找到c=4即可,
則令a-b=2,則a-2=b,a+b=2a-2,(a+b)(a-b)=4a-4,
當4a-4為42=16時,可以得到a=5,b=3。
而其他c為偶數時,可以從4或奇數平方部分將整個算式同乘以4n得到所求的c值,
因此得證之。

附錄:
那為何1和2無法找到其他兩個正整數組合成直角三角形呢?
其實透過上面兩種證明法均可得證。
遞迴證明:
所找出差距為1和4的組合分別只有0配1和0配2
(因為相鄰平方數差距,在1和3之後,剩餘的都比4大)
但三角形中不得有任一邊為0,因此得證。
平方差證明:
當c=1或2時,所得到的b都會=0,但三角形中不得有任一邊為0,因此可得證。


問題二:
已知有一個直角三角形,斜邊外的其中一邊為√(2n),n是正整數且為奇數,
則另外兩邊是否必定至少有一邊不是整數?
回答後並試著證明。

a2+b2=c2為商高定理公式,將a代入√(2n),
得2n+b2=c2,之後兩邊同減b2變為c2-b2=2n
而n是奇數,所以可以解釋成2n除以4餘2
(令n=2m-1且m為正整數,2n=4m-2=4(m-1)+2,得證2n除4餘2)
接下來得用以下兩種證明法繼續證明:

一、用和的平方公式證明
某數為奇數時,用2x-1來表示(x為正整數),
其平方除以4的餘數即為(2x-1)2 mod 4=(4x2-4x+1) mod 4=[4(x2-x)+1] mod 4 =1;
(x mod y代表x除以y所得到的餘數)
某數為偶數時,用2y來表示(y為正整數),
其平方除以4的餘數即為(2y)2 mod 4 =4y2 mod 4 =0。
接著考慮奇偶相減的四種情況:
(1)奇減奇:[(2x-1)2 - (2y-1)2] mod 4 =(1-1) mod 4=0
(mod有(x+y) mod z=x mod z + y mod z的性質)
(2)奇減偶:[(2x-1)2 - (2y)2] mod 4 =(1-0) mod 4=1
(3)偶減奇:[(2x)2 - (2y-1)2] mod 4 =(0-1) mod 4=3
(4)偶減偶:[(2x)2 - (2y)2] mod 4 =(0-0) mod 4=0
沒有能餘2的結果,因此得證之。

二、用平方差公式證明
x2-y2=(x+y)(x-y)=(x+y)[(x+y)-2y](x、y皆為正整數)
可以知道x2-y2為兩個相差2y的數相乘,
因此該兩數必同為奇數或同為偶數。
同為奇數時相乘必為奇數,因此除以4不可能餘2;
同為偶數時,兩數質因數分解後2的指數部分至少為1,
而相乘後2的指數部分就至少為1+1=2,
而22即是4,因數有4時即會被4整除。
從以上兩種可能來看都不會出現餘2的情形,故得證之。


問題三:
試找出直角三角形斜邊外的其中一邊為下列數字時,其他兩邊均為整數的所有組合。

當指定的數字為√k時,令另外兩邊為p和q,且p為斜邊,
則p2-q2=k,(p+q)(p-q)=k,令r=(p-q),則r(r+2q)=k,
之後只要將k拆成兩相異奇數或兩相異偶數相乘,即可得到答案。

(1)712=1×5041,解為(2520,2521)
(2)23×13=4×26=2×52,解為(11,15)和(25,27)
(3)5×192=19×95=5×361=1×1805,解為(38,57)、(178,183)和(902,903)
(4)2093=7×13×23=23×91=13×161=7×299=1×2093,解為(34,57)、(74,87)、(146,153)和(1046,1047)
2,353
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