平方趣味3：差值運用法謎題解析--GameSchool遊戲學校

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平方趣味3：差值運用法 - 謎題解析

證明一： 
在國中時所學到的商高定理a2+b2=c2中， 
使我們得知直角三角形的三邊關係。 
那麼除了1和2外， 
所有正整數必能有另兩個正整數能和選擇的數形成直角三角形嗎？ 
回答後並試著證明。 
 
一、用遞迴關係式證明 
an=n2的遞迴關係式為a1=1，an=an-1+(2n-1)（n≧2）或an+1=an+(2n+1)（n≧1） 
即平方數為1,3,5,7,9……由1開始的連續奇數相加構成， 
得知任意奇數都能由某組兩相鄰平方數相減獲得。 
又因為所有奇數平方都是奇數， 
因此得證至少有一組相鄰平方數，相減後為指定的奇數之平方。 
而偶數的話其平方可以由兩個連續奇數相加得到， 
不過我們主要只需要找4，42=8×2=7+9， 
而根據遞迴關係式得到32和52的差即為7+9=42， 
因此得到4可以找到其他2個正整數與其形成直角三角形（其實這就是常背的32+42=52）。 
接下來所剩的所有偶數，都可透過奇數或4的該組a2+b2=c2算式， 
同乘以4n倍獲得（n為正整數），因此得證之。 
 
二、用平方差公式證明 
平方差公式為a2-b2=(a+b)(a-b) 
因此當所求正整數c，c2=a2-b2並令a,b皆為正整數時， 
就能找到a和b能和c形成直角三角形。 
令a-b=1時，則a-1=b，a+b=2a-1必為奇數， 
因為奇數平方必為奇數，因此可以找到(a-b)(a+b)為一奇數的平方。 
偶數部分只需要找到c=4即可， 
則令a-b=2，則a-2=b，a+b=2a-2，(a+b)(a-b)=4a-4， 
當4a-4為42=16時，可以得到a=5，b=3。 
而其他c為偶數時，可以從4或奇數平方部分將整個算式同乘以4n得到所求的c值， 
因此得證之。 
 
附錄： 
那為何1和2無法找到其他兩個正整數組合成直角三角形呢？ 
其實透過上面兩種證明法均可得證。 
遞迴證明： 
所找出差距為1和4的組合分別只有0配1和0配2 
（因為相鄰平方數差距，在1和3之後，剩餘的都比4大） 
但三角形中不得有任一邊為0，因此得證。 
平方差證明： 
當c=1或2時，所得到的b都會=0，但三角形中不得有任一邊為0，因此可得證。 
 
 
問題二： 
已知有一個直角三角形，斜邊外的其中一邊為√(2n)，n是正整數且為奇數， 
則另外兩邊是否必定至少有一邊不是整數？ 
回答後並試著證明。 
 
a2+b2=c2為商高定理公式，將a代入√(2n)， 
得2n+b2=c2，之後兩邊同減b2變為c2-b2=2n 
而n是奇數，所以可以解釋成2n除以4餘2 
（令n=2m-1且m為正整數，2n=4m-2=4(m-1)+2，得證2n除4餘2） 
接下來得用以下兩種證明法繼續證明： 
 
一、用和的平方公式證明 
某數為奇數時，用2x-1來表示（x為正整數）， 
其平方除以4的餘數即為(2x-1)2 mod 4=(4x2-4x+1) mod 4=[4(x2-x)+1] mod 4 =1； 
（x mod y代表x除以y所得到的餘數） 
某數為偶數時，用2y來表示（y為正整數）， 
其平方除以4的餘數即為(2y)2 mod 4 =4y2 mod 4 =0。 
接著考慮奇偶相減的四種情況： 
(1)奇減奇：[(2x-1)2 - (2y-1)2] mod 4 =(1-1) mod 4=0 
（mod有(x+y) mod z=x mod z + y mod z的性質） 
(2)奇減偶：[(2x-1)2 - (2y)2] mod 4 =(1-0) mod 4=1 
(3)偶減奇：[(2x)2 - (2y-1)2] mod 4 =(0-1) mod 4=3 
(4)偶減偶：[(2x)2 - (2y)2] mod 4 =(0-0) mod 4=0 
沒有能餘2的結果，因此得證之。 
 
二、用平方差公式證明 
x2-y2=(x+y)(x-y)=(x+y)[(x+y)-2y]（x、y皆為正整數） 
可以知道x2-y2為兩個相差2y的數相乘， 
因此該兩數必同為奇數或同為偶數。 
同為奇數時相乘必為奇數，因此除以4不可能餘2； 
同為偶數時，兩數質因數分解後2的指數部分至少為1， 
而相乘後2的指數部分就至少為1+1=2， 
而22即是4，因數有4時即會被4整除。 
從以上兩種可能來看都不會出現餘2的情形，故得證之。 
 
 
問題三： 
試找出直角三角形斜邊外的其中一邊為下列數字時，其他兩邊均為整數的所有組合。 
 
當指定的數字為√k時，令另外兩邊為p和q，且p為斜邊， 
則p2-q2=k，(p+q)(p-q)=k，令r=(p-q)，則r(r+2q)=k， 
之後只要將k拆成兩相異奇數或兩相異偶數相乘，即可得到答案。 
 
(1)712=1×5041，解為(2520,2521) 
(2)23×13=4×26=2×52，解為(11,15)和(25,27) 
(3)5×192=19×95=5×361=1×1805，解為(38,57)、(178,183)和(902,903) 
(4)2093=7×13×23=23×91=13×161=7×299=1×2093，解為(34,57)、(74,87)、(146,153)和(1046,1047)

備註

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