以下提供三種證明法：

一、用和的平方公式證明
令n為自然數（正整數），a為整數且-25≦a≦25
(50n+a)²
=(50n)²+2×50n×a+a²
=2500n²+100an+a²
=100(25n²+an)+a²
由此可證(50n+a)²的後2碼必為a²的後2碼
而1~25和(-1)~(-25)的平方數相同
而0,10,20的平方後2碼皆為00，5,15,25的平方後2碼皆為25
所以情況共有26-4=22種
其中算式中的26代表0~25，而4為重複的部分
而後3碼或更多碼(後k碼)亦可用(5n×10^k-1+a)²證實後k碼必定重複。

二、用遞迴關係式證明
n²的遞迴關係式如下：

即平方數為1,3,5,7,9……由1開始的連續奇數相加構成，
而我們知道49+51=100，而兩者往前和往後提又分別是47+53，類推往外
證明法如下：

則x或(x+n)至少有一個為25的倍數時，an和an+2x的後2碼就相同
由於x是變數，故至少有一個n加上任意變數x時最多加上24，最少加上0會變為25的倍數
所以所有整數平方的後2碼都會和0~25平方的後兩碼相同，去除掉重複的00和25後，答案即為22個
而後3碼或更多碼(後k碼)亦可用an+4x(x+n)
證實x或(x+n)至少有一個為10^k/4的倍數時後k碼必定重複（一碼時不適用）。

三、用平方差公式證明
n²-x²+x²
=(n+x)(n-x)+x²
(n+x)(n-x)為100的倍數時，尾數為x²
因為兩者相差2x，故兩者皆為奇數或皆為偶數
當兩者皆為偶數時，只要其中一項是50的倍數，另一項就會是2的倍數
將n-x代入50a（其中a為0或正整數），得(50a)(50a+2x)=100a(25a+x)
將n+x代入50b（其中b為正整數），得(50b)(50b-2x)=100b(25b+x)
n要透過±x來變為50的倍數時，最多只要±25即可用最少步數達成目標
故當-25≦x≦25即可滿足條件
因為尾數為x²，故將負數部分和後2碼相同，多餘的00和25者去掉
即可得到有22種解
而後3碼或更多碼(後k碼)亦可用(5a×10^k-1)(5a×10^k-1+2x)=(a×10^k)(25a×10^k-2+x)
或者(5b×10^k-1)(5a×10^k-1-2x)=(a×10^k)(25a×10^k-2-x)
透過調整變數x使n±x形成5×10^k-1證實後k碼必定重複（一碼時不適用）。