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自由落體其他謎題

答對率:61%
地球是不斷在自轉中的…
如果我們拿起一個棒球,舉高後並放手,棒球很快就會以自由落體掉下來,掉回地面的時候一般會落在原本手拿位置的正下方。

那如果今天拿一個棒球,在 「台北 101 大樓」 樓頂的高度釋放,使之自由落下至地面;在沒有空氣阻力或其它影響的情形下,棒球還會不會落在釋放處的正下方呢?


註 1:所謂「正下方」的地點,不用吹毛求疵;在一個棒球大小的範圍即可。
註 2:「台北 101」高 508 公尺,棒球的直徑約 7.5 公分。 
mightqxc2014-10-09提供(2014-10-10修改)
來源:忘記了
看答案
不會

如果你答對了,可以進一步猜猜看,棒球的落點會 對於 釋放點正下方 是往哪一方偏離? (以東西南北等方位表示)

解析

我要編輯
雖然沒有空氣阻力等影響,但落點還是會偏離,正是因為地球是不斷在自轉中的。

身處在旋轉座標上 (如旋轉木馬、地球) 的人,會比在靜止(或等速) 座標上的人 多 "看到" (或 "感受") 到兩種力:
一種就是常謂的「離心力」,會覺得有一股力要把你和任何東西都拉離旋轉中心。
而另一種則是不太常見的「科氏力」(頂多在地球科學中講高、低氣壓的氣旋,或是水流進排水孔的漩渦時才會碰到)。本題中,讓棒球偏離的正是這種力。

要見到「科氏力」的條件有二:(1) 你(觀察者)身處在旋轉座標上 (2) 物體必需和你有相對運動 (有相對速度)
(要見到「離心力」只需要第一個條件即可)

科氏力 的大小,和 旋轉速率 (ω) 與 物體運動速率 (v) 成正比; 而科氏力 的方向,則是朝向 「物體運動方向」 和 「旋轉軸」的「外積」的方向 (如右圖);所以會和物體運動方向垂直。因此,不論是平行地表運動或是垂直地表運動,都會感受到科氏力。 (旋轉軸的方向是以右手方向決定的:用右手比個讚,拇指是軸的方向,其餘四指則是旋轉的方向。以地球由西向東轉來說,旋轉軸方向是由南極指向北極的方向。)
科氏力寫成公式的話是:2 m ω v sinθ 。(m 是物理質量,θ 是旋轉軸和運動方向的夾角),給有興趣的人參考。

一般情況下來說在地球上科氏力不顯著,因為地球轉得慢 (一天才轉一圈) ,如果物體運動不夠快,觀時間不夠長,就很難見到其效應。但是在本題中,因為大樓夠高,掉落時間夠長,讓棒球被加速到夠快,可以看到科氏力的效應。棒球從大樓上掉落,是垂直地表往下的運動;你在地表上旋轉,會看到科氏力作用在棒球上,方向朝東,所以棒球落下時會不斷偏東。以台北 101 大樓的高度來計算的話,棒球最後的落點會在釋放處正下方 偏東 約 20 公分,偏離距離已經超過一個棒球的大小。


以下幾題延伸,給有興趣的朋友試試: (有答案,是反白的。至於原因就要自行思考囉~)
  • 本題是在「台北 101」,也就是北半球的高空釋放棒球,落點偏東。如果改成在南半球的大樓釋放,棒球的落點會偏向哪個方向呢?
    {答: 還是偏東。    那要怎樣才會偏西呢?只能把球往上丟了。}
  • 呈上,如果改成在位於赤道的大樓釋放,則棒球的落點偏移 會比在台北的 偏得多或是少呢?
    {答:偏得多,因為在赤道處垂直落下的物體,受到的科氏力更大。誰說在赤道沒有科氏力呢?可是如果有,那為什麼在赤道附近的高、低氣壓的氣流 或 流入排水孔的水 不會旋轉呢?}
  • 中學時應有教過「離心力」會造成 物體在地表的重量減輕 (隨緯度而變,赤道處比兩極輕 1/300 左右),可是注意一點:「離心力」的方向並不是遠離地心,而是垂直遠離地軸!所以以台北為例,離心力的方向比遠離地心的方向要偏南 25° (台北的緯度)。
    「離心力」一般會比「科氏力」較為顯著,一是因為 不用相對運動 就看得到離心力,而且 離旋轉軸越遠 離心力越大,在地表緯度低的地方會較顯著。以台北的例子來說,看到的 離心力 其實一直都和本題中的 科氏力 的數量級差不多 ( 可自行驗證,離心力的公式是 m r ω2  , r 是與旋軸的距離),理論上是不可忽略的。
    本題只說「科氏力」會造成地球上的自由落體的向東偏離,那在台北,「離心力」會不會也造成落體向南偏移,使得最後的結果是落點偏向東南呢?
    {答:只看得出偏東,也就是說離心力其實幾乎不影響偏移。為什麼這個「偏南的離心力」明明和科氏力大小差不多,卻不會使棒球偏南呢?}
 
註:
  1. 對於科氏力的方向,或許有朋友聽過:以地球 (西向東自轉) 來說,在北半球,科氏力 總是朝物運動方向的右方 (順時針 90°) ;而南半球則是 左方。(這也造成北半球的高氣壓是順時針順轉,南半球則相反。)
    可是這樣的方向描述是對於「平行地表運動」的物體 (如氣流) 才有效;對於「垂直地表運動」的物體則無效。以上述「外積」的做法來判斷科氏力的方向,才是最通用的。
  2. 如果不想用「科氏力」的觀念,也可以看出棒球偏離方向往東。今天假設你身在外太空,因為你沒有跟著地球旋轉,所以也看不到科氏力。你會看到的是:一開始球在 101 大樓頂端時,球有一個向東的速度 (因為地球向東轉) ,而地面上的落點也有一個向東的速度,但是比較小 (因為大樓頂的旋轉半徑較大,地面的則較小);因此,球落下時仍然會帶著較快的向東速度,最後落地時就會比地面往東跑得更多。
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