神秘的社團數學謎題
在 正整數貴族學園 (是一所只有正整數才能就讀的名校，校名聽起來像是動漫的名字) 中，有許許多多的社團，如質數社 (社員為所有的質數 2, 3, 5, 7, ...)、費氏數列 (社員為費氏數：1, 1, 2, 3, 5, …, ；數字 1 一個人佔兩個名額)，畢氏數社 (滿足畢氏定理 a2 + b2 = c2，a, b, c 三人要組隊一起報名入社，可重覆組隊；如 (3, 4, 5) ，(5, 12,13)，…等等)。
下課時間，有幾位學生正在聊天。
25：「嘿！你知道嗎？最近有一個新的社團成立吶！」
36：「哦？ 那是什麼社？」
25：「社名我不曉得，但是好像挺神秘的~ 據說這個社只有 有限個社員 吶！」
36：「這倒滿稀奇的，畢竟我們學校有無限多位學生嘛，大部分的社團都是人數無限的。怎麼樣，放學後一起去看看？搞不好我們也可以加入啊。能成為有限人數社團的社員，感覺挺風光的。」
25：「不行吶，你忘了今天放學後 完全平方社 有社員大會？我們都要參加吶。而且這個神秘社團規定 非社員禁止擅自進入社團活動室；他們的入社條件也很嚴格，條件是 比你小 而且跟你互質的數 除了1 以外，都得是質數 才行吶！」
36：「啊~~ 35 和我互質而且不是質數，24 和你互質而且也不是質數；看來我們都沒辦法入社…」
1：「你們在說什麼啊？」(數字 1 過來竄門子了) 「哦哦~ 是在說那個神秘社團啊？」
36：「說得好像你很了解似的。難不成你知道些什麼？」
1：「哦哦~ 當然啊。因為，我也是那個社的社員啊！」
36 & 25：「蝦米！？」
1：「嘿嘿，其實他們剛入社，我好奇就跑去加入了 。他們一開始還不讓我加入，我跟他們吵了半天咧。」
36：「然後呢？」
1：「我就說：" 為什麼不讓我加入？我也符合你們的入社條件啊！一定要讓我加入啦… " 最後他們勉強讓我加入了。」
36：「…的確。沒有比你更小的自然數了，也算符合入社條件…不過你還真是厚臉皮吔。」
1：「我天生就喜歡竄門子嘛，有趣的事一定要參一腳才行，所以我也加入很多其它的社團啊，只不過都是當幽靈社員而已~ 像是很有聲譽的質數社我也參加過啊…但是最後被他們趕出來了。」
25：「你還敢說！完全平方社的活動你也幾乎都沒來參加，社長已經盯上你了吶。今天放學也有社員大會，你一定要來參加吶…」
1 俏皮地吐了個舌頭：「唄~ 我不想參加啦~ 我都快忘了自己也是平方數吔！」
36：「話說回來，這個社也真會搞神秘吔。社長到底是誰啊？感覺一定是很怪的人吧。」
1：「我也不知道，沒見過。社長應該是神秘人物吧 ，不過我也是幽靈社員就是了。你可以去問 4 啊，她是神秘社團的幹部，而且也是 完全平方社 的吧，你們應該認識她啊。」
36：「哦不不，我才不敢去問那個陰沉女，領教過她的白眼很多次了。」
1 的目光轉向 25：「那你去問？」 (沉默，只有聽見倒吞口水的吞嚥聲。)
1：「你們都不敢問喔…(竊笑) 那我就沒辦法啦。我只知道，應該是社員中數字面額最大的人當社長。」
36：「不過你來正好，雖然我跟 25 不能入社，但你可以帶我們去參觀一下啊。有社員陪同的話應該可以進去吧。真想看看這到底是什麼社，還有社長是何方神聖。」
1：「好像很有趣吔！好吧，放學後就往神秘社團總部出發~」
36：「YA~ 那就衝啦！」
25：「喂喂！記得要趕快回來 完全平方社 開會吶！」
放學時分，在夕日餘暉下，兩位興致勃勃的學生 一邊有說有笑 一邊輕快地邁步，尾隨著他們的那一位則念念有詞地嘮叨著。三人就這樣懷著興奮(?) 的心情，往神秘的社團的社團室前進…
(海龜湯亂入了…請忽略)
那麼，真正的問題是，關於這個神秘的社團：
(1) 社長是誰？
(2) 社員有幾位？
註 1：神秘社團的入社條件，可以說成是「對於一個正整數 n，如果比 n 小且與 n 互質的數存在 (稱這些數的集合為 M)，則他們 (任何屬於 M 的數) 都是質數。」數字 1 可以符合這個條件，是因為前提(「如果」)已經不成立了。在邏輯上，若「如果…則」的句子中，前提 (「如果」的那句) 不成立的話，那無論「則…」是什麼，整句話都是成立的。例：「如果地球是方的，則豬會飛。」和「如果地球是方的，則豬不會飛。」兩句話單就邏輯而言都是成立的 (雖然聽起來很怪)，因為前提都不成立。 同理，數字 2 也可以符合入社條件，因為沒有比 2 小的又不是 1 的正整數。
註 2：關於數字 4 ，因為比 4 小且與 4 互質的正整數有 1 和 3 ，所以符合「除了 1 以外都是質數」的入社條件。另外，因為她的精明、能幹、沉著 (陰險?)，常常在班級或社團居任重要幹部。
註 3：數字 1 曾經被當作是質數，但是後來質數的定義把 1 剔除了，現在 1 不算是質數。
(2) 10 位，分別是 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 18, 24, 30。
比 30 大的正整數 都無法符合入社條件，以下有證明 (如不想知道證明的話可跳過~)
[ 證明 ]
假設一個正整數 N ，符合入社條件 (比 N 小且與 N 互質的正整數 都是質數)。
設 p 是一個小於 √N 的質數，故 p2 < N 。但是因為 p2 是合數，故得知 p2 不可與 N 互質 (否則有比 N 小又與 N 互質的合數存在的話，N 就不符合入社條件了)；從而得到p是N 的質因數 (原因是p 是質數，p2 就只有 p 一個質因數了，N 想要與 p2 不互質的話，必然要有 p 這個質因數)。換句話說，小於 √N 的所有質數，都要是 N 的質因數 (結果A)。
接著，把所有小於 √N 的質數由小到大列出來，即 p1, p2, p3, …, pj （其中pj表示由小到大第 j 個質數，即 p1 = 2、p2 = 3、p3 = 5，以此類推）。因為比pj大的質數就大於等於√N了，所以有：
pj < √N ≤ pj+1 (式1)
另一方面，根據結果A，p1, p2, p3, …, pj 都是 N 的質因數，他們全部相乘以後，也會是 N 的因數 (結果B)，因為因數不可能大過本身，所以：
p1 p2 p3 … pj ≤ N (式2)
介紹一下會用到的「伯特蘭－切比雪夫定理」，其內容簡單來說，就是「任何一個正整數 n 和他的兩倍 2n 之間，至少會存在一個質數 p。(即 n ≤ p < 2n)」。在此不證明這個定理 (其實是我不會證 XD)，只要放心使用它就好。
現在證明以下命題：「對所有正整數 k，第 k+1 個質數一定在第 k 個質數和他的兩倍之間。」也就是說：
pk < pk+1 < 2pk (式3)
用反證法即可證出，如下：若pk+1 ≥ 2pk ，則根據「伯特蘭－切比雪夫定理」，存在一個質數 p 使得 pk < p < 2pk ≤ pk+1；也就是說在 pk 與 pk+1 之間還有其他質數，矛盾，故 式3 成立。(這部分climbn1246有在留言中也有證明了)
接著，根據式1 和式3，得到：
N ≤ pj+12 < (2pj)2 < (2pj)(2·2pj-1) = 8 pj pj-1 (式4)
上式中第三個不等號後面，也是用到 式3 的結果，只是把 k 換成 j-1 而已。
(這裡假設 j > 1。如果 j = 1 (或 0) 的話，就不用管 式4 了，因為此時 N 就是 3 (或 2 或 1)，都符合入社條件，所以沒問題。)
再來，用式2 與式4，得出：
p1 p2 p3 … pj-2 < 8 (式5)
但p1, p2, p3, … 就是質數 2, 3, 5, …；而2×3 < 8 < 2×3×5 ，故 pj-2 ≤ 3 = p2，即 j-2 ≤ 2，即：
j ≤ 4 (式6)
根據式1 和式6，得到：
N ≤ pj+12 ≤ p52 = 112 = 121 (式7)
根據式1、結果B 和式6 得到：
若 N > p12 = 22 = 4，則 2 要是 N 的因數。
若 N > p22 = 32 = 9，則 2×3 = 6 要是 N 的因數。
若 N > p32 = 52 = 25，則 2×3×5 = 30 要是 N 的因數。
若 N > p42 = 72 = 49，則 2×3×5×7 = 210 要是 N 的因數。
(結果C)
結合式7 與結果C 的第四行，因為 N ≤ 121，不可能有 210 這個因數 (因數不可能大過本身！)，所以可以進一步得到：
N ≤ 49 (式8)
最後，結合 式8 與 結果C 的前三行，發現最大的 N (> 25) 既要是 30 的倍數，又不能超過 49，那就只能是 30了。也就是說，滿足入設條件的正整數，最大就是 30，社長也就由他擔任。要找出其他社員只要檢驗 30 以下的數字即可，共有 10 位 (如上述)。
P.S. 這個社團的名稱 (滿足入社條件) 的數字，我不曉得叫什麼 (好像也查不到什麼統一的名稱)。不過由 larry 提供的 "OEIS" (The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences 線上整數數列百科)，可以找到這個社團 (數列：1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 18, 24, 30。貌似叫做 Very Round Numbers，但我在其它地方都查不到這個名稱)，社團代號是 A048597。其它故事中的社團在 OIES 也都找的到，如下：
| 社團名稱 | 社團代號 |
| 質數社 | A000040 |
| 費氏數社 | A000045 |
| 畢氏數社 | A103606 |
| 完全平方社 | A000290 |
如上圖，這是以一些火柴棒和火柴頭排成的。雖然這已經是一個等式了，但是還是請移動 2 個物件，使...
有一塊草坪，形狀是正三角形的，三個頂點處都各有一個樁子。草坪中 (不是正中央) 插了一枝旗子。
有個...
承 上題 …
有一種奇妙的正整數，
當它加上 1，可以被 9 整除；
當它加上 2，可以被 8 整除...
將數字1~9分別填入下面方格中（數字不能重複），使等式成立，
其中三格已經幫你填好了：
把右邊的六組方塊放進左邊的4x4方格中，使每個直行、橫行、斜行的數字總合皆為13：
百萬獎金腦力戰這次的新單元引發眾多討論，
因為它不僅難度高，還可能有生命危險，至今有不少挑戰者都受了...