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神秘的社團數學謎題

答對率:64%
前言:數學題 不是人人都有興趣。不過這一題,就請各位看個故事吧;沒興趣解題也可以消遣一下~

在 正整數貴族學園 (是一所只有正整數才能就讀的名校,校名聽起來像是動漫的名字) 中,有許許多多的社團,如質數社 (社員為所有的質數 2, 3, 5, 7, ...)、費氏數列 (社員為費氏數:1, 1, 2, 3, 5, …, ;數字 1 一個人佔兩個名額),畢氏數社 (滿足畢氏定理 a2 + b2 = c2,a, b, c 三人要組隊一起報名入社,可重覆組隊;如 (3, 4, 5) ,(5, 12,13),…等等)。

下課時間,有幾位學生正在聊天。

25:「嘿!你知道嗎?最近有一個新的社團成立吶!」
36:「哦? 那是什麼社?」
25:「社名我不曉得,但是好像挺神秘的~ 據說這個社只有 有限個社員 吶!」
36:「這倒滿稀奇的,畢竟我們學校有無限多位學生嘛,大部分的社團都是人數無限的。怎麼樣,放學後一起去看看?搞不好我們也可以加入啊。能成為有限人數社團的社員,感覺挺風光的。」
25:「不行吶,你忘了今天放學後 完全平方社 有社員大會?我們都要參加吶。而且這個神秘社團規定 非社員禁止擅自進入社團活動室;他們的入社條件也很嚴格,條件是 比你小 而且跟你互質的數 除了1 以外,都得是質數 才行吶!」
36:「啊~~ 35 和我互質而且不是質數,24 和你互質而且也不是質數;看來我們都沒辦法入社…」
1:「你們在說什麼啊?」(數字 1 過來竄門子了) 「哦哦~ 是在說那個神秘社團啊?」
36:「說得好像你很了解似的。難不成你知道些什麼?」
1:「哦哦~ 當然啊。因為,我也是那個社的社員啊!」
36 & 25:「蝦米!?」
1:「嘿嘿,其實他們剛入社,我好奇就跑去加入了 。他們一開始還不讓我加入,我跟他們吵了半天咧。」
36:「然後呢?」
1:「我就說:" 為什麼不讓我加入?我也符合你們的入社條件啊!一定要讓我加入啦… " 最後他們勉強讓我加入了。」
36:「…的確。沒有比你更小的自然數了,也算符合入社條件…不過你還真是厚臉皮吔。」
1:「我天生就喜歡竄門子嘛,有趣的事一定要參一腳才行,所以我也加入很多其它的社團啊,只不過都是當幽靈社員而已~ 像是很有聲譽的質數社我也參加過啊…但是最後被他們趕出來了。」
25:「你還敢說!完全平方社的活動你也幾乎都沒來參加,社長已經盯上你了吶。今天放學也有社員大會,你一定要來參加吶…」
1 俏皮地吐了個舌頭:「唄~ 我不想參加啦~ 我都快忘了自己也是平方數吔!」
36:「話說回來,這個社也真會搞神秘吔。社長到底是誰啊?感覺一定是很怪的人吧。」
1:「我也不知道,沒見過。社長應該是神秘人物吧 ,不過我也是幽靈社員就是了。你可以去問 4 啊,她是神秘社團的幹部,而且也是 完全平方社 的吧,你們應該認識她啊。」
36:「哦不不,我才不敢去問那個陰沉女,領教過她的白眼很多次了。」
1 的目光轉向 25:「那你去問?」 (沉默,只有聽見倒吞口水的吞嚥聲。)
1:「你們都不敢問喔…(竊笑) 那我就沒辦法啦。我只知道,應該是社員中數字面額最大的人當社長。」
36:「不過你來正好,雖然我跟 25 不能入社,但你可以帶我們去參觀一下啊。有社員陪同的話應該可以進去吧。真想看看這到底是什麼社,還有社長是何方神聖。」
1:「好像很有趣吔!好吧,放學後就往神秘社團總部出發~」
36:「YA~ 那就衝啦!」
25:「喂喂!記得要趕快回來 完全平方社 開會吶!」

放學時分,在夕日餘暉下,兩位興致勃勃的學生 一邊有說有笑 一邊輕快地邁步,尾隨著他們的那一位則念念有詞地嘮叨著。三人就這樣懷著興奮(?) 的心情,往神秘的社團的社團室前進…
 

但是,他們後來並沒有去參加完全平方社的會議,而且再也沒有回來了。為什麼?


(海龜湯亂入了…請忽略)



那麼,真正的問題是,關於這個神秘的社團:

(1) 社長是誰?
(2) 社員有幾位?
 
註 1:神秘社團的入社條件,可以說成是「對於一個正整數 n,如果比 n 小且與 n 互質的數存在 (稱這些數的集合為 M),則他們 (任何屬於 M 的數) 都是質數。」數字 1 可以符合這個條件,是因為前提(「如果」)已經不成立了。在邏輯上,若「如果…則」的句子中,前提 (「如果」的那句) 不成立的話,那無論「則…」是什麼,整句話都是成立的。例:「如果地球是方的,則豬會飛。」和「如果地球是方的,則豬不會飛。」兩句話單就邏輯而言都是成立的 (雖然聽起來很怪),因為前提都不成立。 同理,數字 2 也可以符合入社條件,因為沒有比 2 小的又不是 1 的正整數。

註 2:關於數字 4 ,因為比 4 小且與 4 互質的正整數有 1 和 3 ,所以符合「除了 1 以外都是質數」的入社條件。另外,因為她的精明、能幹、沉著 (陰險?),常常在班級或社團居任重要幹部。

註 3:數字 1 曾經被當作是質數,但是後來質數的定義把 1 剔除了,現在 1 不算是質數。
 
mightqxc2013-08-13提供(2013-08-15修改)
來源:題材取自 <趣味數論> ,故事為自編。
看答案
(1) 30
(2) 10 位,分別是 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 18, 24, 30。

比 30 大的正整數 都無法符合入社條件,以下有證明 (如不想知道證明的話可跳過~)
[ 證明 ]

假設一個正整數 N ,符合入社條件 (比 N 小且與 N 互質的正整數 都是質數)。

 p 是一個小於 √N 的質數,故 p2 < N 。但是因為 p2 是合數,故得知 p2 不可與 N 互質 (否則有比 N 小又與 N 互質的合數存在的話,就不符合入社條件了);從而得到p的質因數 (原因是是質數,p2 就只有 p 一個質因數了,想要與 p2 不互質的話,必然要有 p 這個質因數)換句話說,小於 √N 的所有質數,都要是 N 的質因數 (結果A)

接著,把所有小於 √N 的質數由小到大列出來,即 p1, p2, p3, …, pj (其中pj表示由小到大第 j 質數,即 p1 = 2p2 = 3p3 = 5,以此類推)。因為比pj大的質數就大於等於√N了,所以有:

pj < √N  pj+1   (1)

另一方面,根據結果Ap1, p2, p3, …, pj 都是 N 的質因數,他們全部相乘以後,也會是 N 的因數 (結果B),因為因數不可能大過本身,所以:

p1 p2 p3 … pj ≤ N  (2)
 

介紹一下會用到的「伯特蘭-切比雪夫定理」,其內容簡單來說,就是「任何一個正整數 n 和他的兩倍 2n 之間,至少會存在一個質數 p( n ≤ p < 2n)」。在此不證明這個定理 (其實是我不會證 XD),只要放心使用它就好。

現在證明以下命題:「對所有正整數 k,第 k+1 質數一定在第 k 質數和他的兩倍之間」也就是說:

pk < pk+1 < 2pk   (3)

用反證法即可證出,如下:若pk+1  2pk ,則根據「伯特蘭-切比雪夫定理」,存在一個質數 p 使得 pk < p < 2pk ≤ pk+1;也就是說在 p與 pk+1 之間還有其他質數,矛盾,故 成立。(這部分climbn1246有在留言中也有證明了)


接著,根據3,得到:

≤ pj+12 < (2pj)2 < (2pj)(2·2pj-1) = 8 ppj-1   (4)

上式中第三個不等號後面,也是用到 的結果,只是把 k 換成 j-1 而已。
 (這裡假設 j > 1。如果 j = 1 ( 0) 的話,就不用管 式了,因為此時 N 就是 3  ( 2  1),都符合入社條件,所以沒問題。)


再來,用4,得出:

p1 p2 p3 … pj-2 < 8   (5)

p1, p2, p3, … 就是質數 2, 3, 5, …;而2×3 < 8 < 2×3×5 ,故 pj-2 ≤ 3 = p2,即 j-2 ≤ 2,即:

j ≤ 4   (6)


根據6,得到:

≤ pj+12 ≤ p52 = 112 = 121  (7)


根據1、結果得到:

 N > p12 = 22 = 4,則 要是 的因數。

 N > p22 = 32 = 9,則 2×3 = 6 要是 的因數。

 N > p32 = 52 = 25,則 2×3×5 = 30 要是 的因數。

 N > p42 = 72 = 49,則 2×3×5×7 = 210 要是 的因數。

 (結果C)


結合結果的第四行,因為 ≤ 121,不可能有 210 這個因數 (因數不可能大過本身!)所以可以進一步得到:

≤ 49  (8)


最後,結合 與 結果的前三行,發現最大的 N (> 25) 既要是 30 的倍數,又不能超過 49,那就只能是 30了。也就是說,滿足入設條件的正整數,最大就是 30,社長也就由他擔任。要找出其他社員只要檢驗 30 以下的數字即可,共有 10 位 (如上述)。

P.S. 這個社團的名稱 (滿足入社條件) 的數字,我不曉得叫什麼 (好像也查不到什麼統一的名稱)。不過由 larry 提供的 "OEIS" (The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences 線上整數數列百科),可以找到這個社團 (數列:1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 18, 24, 30。貌似叫做 Very Round Numbers,但我在其它地方都查不到這個名稱),社團代號是 A048597。其它故事中的社團在 OIES 也都找的到,如下:
 

社團名稱 社團代號
質數社 A000040
費氏數社 A000045
畢氏數社 A103606
完全平方社 A000290


 




 

解析

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