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比賽中斷數學謎題
答對率：66%
桌球的計分規則是：一局中，先得 11 分的人贏得此局；但是比分若達到 10 比 10 (稱作 deuce)，則要領先對方兩分才能贏得此局。若任一方都無法領先對方兩分，則該局比賽將持續進行直到分出勝負。
兩人在前四局中，甲先勝三局，已取得五戰三勝；屆時租借時間還未到，所以他們繼續打第五局。可是來不及打完第五局，時間就到了，比賽只好中斷。以下是兩人的比分：
| 局 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 |
| 甲 | 11 | 11 | 10 | 11 | 8 |
| 乙 | 3 | 6 | 12 | 4 | 9 |
| 勝 | 甲 | 甲 | 乙 | 甲 | ? |
幾天後兩人碰面，聊起上次未比完的賽事。
甲：「上次的第五局比賽要是真的打完，最後應該是我會贏。畢竟我前面已經先勝三局了。」
乙：「哪有這回事？那局比賽最後是我得 9 分、你得 8 分，雖然你的實力或許強一些，但是我再得兩分就贏了，而你還要再得三分。所以那局應該是我比較有機會贏。」
甲：「不不，真要算的話，這五局我共得了 51 分，而你得 34 分，也就是我和你得分的能力是 3:2。所要是雙方實力維持不變，你再得兩分或我再得三分的可能性是一樣的。」
那麼，當天這第五局的比賽若能比完，且甲乙都維持同樣的實力 (沒有誰突然爆氣等等)，應該是誰比較有機會贏呢？
A) 甲 B) 乙 C) 一樣
建議先估計目測猜答案，再進行詳細計算。
看答案
A) 甲(不過只比乙贏的機率略大一點)
首先還是要說明，為了得出甲乙兩人的得分比例，依目前題目所給的資訊，就只能以他們這五局總共的得分來統計 (把「每一球」都當作是獨立的，因為沒有額外的資訊了)；所以得分比例 甲：乙 = 51分：34分 = 3：2 ，換言之每一球中，甲得分的機率是 3 / 5 ，乙得分的機率是 2 / 5。(當然一定會有誤差，而且在現實中更是不準確；在這裡就當作是理想準確的)
知道得分機率以後，就可以實際算雙方贏得第五局的機率了。其實就如甲說的，因為甲還要得 3 分才贏，乙只要得 2 分，剛好配合他們的得分比例，故拿下這局的機率「差不多」就是一半一半。
不過雖說是「差不多」，到底是誰贏的機會大一點呢？仔細計算機率可以得到結果；不過在計算前，稍微思考一下，也可以得知大概。以下將說明「沒有 deuce 規則」、「有 deuce 規則」的兩種情形，以茲比較。
「沒有 deuce 規則」的情形： (即先得 11 分者勝此局)
稍微思考：
如果這局比賽還可以再打 5 球，那根據甲乙得分比，這 5 球中，甲得 3 分 和 乙得 2 分 的機率是一樣的。可是這局再 4 球以內一定會結束比賽。可以想見，這對還需要得較多分的甲，是較不利的 。因此乙贏這局的機率比較大一些。
(以上的「可以想見」：如果打 5 球，最有可能的是 甲贏 3 球、乙贏 2 球；但假設如今只有前 4 球算分，也就是最後一球不算分，而 5 球中最後一球是甲得分的機率當然比乙大，所以對甲不利。更何況比賽可能再 3 球、甚至 2 球內結束。)
實際計算：
乙會勝的得分組合為：乙連得 2 分、甲乙各得一分後乙再得一分、甲得 2 分乙得 1 分後乙再得最後一分。以表格表示如下：(大括號「{ }」內的得分順序可交換)
故乙勝的機率為 328/625 = 52.48% ；甲勝的機率為 1 - 328/625 = 297/625 = 47.52%。
乙贏這局的機率稍大。
「有 deuce 規則」的情形： (得分 10:10 後進入deuce，先超過對方兩分者勝)
先看看進入 deuce 後，甲乙拿下這局的機率是分別是多少。 進入 deuce 後有可能沒完沒了，要打好多球才能分出勝負；若列出其中一方獲得的得分組合，有無限多個 (例如乙勝的得分組合：乙乙、{甲乙}乙乙、{甲甲乙乙}乙乙、……)，一一算其機率再以無窮級數求和即可。或者，用以下較簡易的方式來思考計算。
稍微思考：
進入 deuce 後，若要得勝，最後一定要連得兩分，而在此之前雙方得分必然相同 (無論得了多少分)。因此，雙方得勝的機率比例，就是雙方「連得兩分」的機率比例；故 deuce 中甲勝：乙勝 = (3/5)2：(2/5)2 = 9：4，即 deuce 中甲勝的機率為 9/13 ，乙勝的機率為 4/13。
因此，進入 deuce 後甲勝的機會大多了 (兩倍以上)。沒有 deuce 規則時，雖然乙勝機率大於甲，不過也大不了多少；說不定有了 deuce 可以讓甲贏的機會反大過乙。(當然，這裡也只是「說不定」而已，對數字敏銳的人或許能看得出誰大誰小；否則要實際計算後才能肯定。)
實際計算：
進入 deuce 前甲要贏的得分組合，只有甲連得 3 分；故機率為 (3/5)3 = 27/125。
要進入 deuce 的得分組合為 {甲甲乙}，機率為 3 × (3/5 × 3/5 × 2/5) = 54/125 。故進入 deuce 後甲贏的機率為： 9/13 × 54/125 = 486/1625。
故甲勝的機率為 27/125 + 486/1625 = 837/1625 ≈ 51.51% ；乙勝的機率為 1 - 837/1625 = 788/1625 ≈ 48.49%。
這次變成甲贏這局的機率稍大。
首先還是要說明，為了得出甲乙兩人的得分比例，依目前題目所給的資訊，就只能以他們這五局總共的得分來統計 (把「每一球」都當作是獨立的，因為沒有額外的資訊了)；所以得分比例 甲：乙 = 51分：34分 = 3：2 ，換言之每一球中，甲得分的機率是 3 / 5 ，乙得分的機率是 2 / 5。(當然一定會有誤差，而且在現實中更是不準確；在這裡就當作是理想準確的)
知道得分機率以後，就可以實際算雙方贏得第五局的機率了。其實就如甲說的，因為甲還要得 3 分才贏，乙只要得 2 分，剛好配合他們的得分比例，故拿下這局的機率「差不多」就是一半一半。
不過雖說是「差不多」，到底是誰贏的機會大一點呢？仔細計算機率可以得到結果；不過在計算前，稍微思考一下，也可以得知大概。以下將說明「沒有 deuce 規則」、「有 deuce 規則」的兩種情形，以茲比較。
「沒有 deuce 規則」的情形： (即先得 11 分者勝此局)
稍微思考：
如果這局比賽還可以再打 5 球，那根據甲乙得分比，這 5 球中，甲得 3 分 和 乙得 2 分 的機率是一樣的。可是這局再 4 球以內一定會結束比賽。可以想見，這對還需要得較多分的甲，是較不利的 。因此乙贏這局的機率比較大一些。
(以上的「可以想見」：如果打 5 球，最有可能的是 甲贏 3 球、乙贏 2 球；但假設如今只有前 4 球算分，也就是最後一球不算分，而 5 球中最後一球是甲得分的機率當然比乙大，所以對甲不利。更何況比賽可能再 3 球、甚至 2 球內結束。)
實際計算：
乙會勝的得分組合為：乙連得 2 分、甲乙各得一分後乙再得一分、甲得 2 分乙得 1 分後乙再得最後一分。以表格表示如下：(大括號「{ }」內的得分順序可交換)
| 得分 | 機率 |
| 乙乙 | 2/5 × 2/5 = 4/25 |
| {甲乙}乙 | 2 × (3/5 × 2/5) × 2/5 = 24/125 |
| {甲甲乙}乙 | 3 × (3/5 × 3/5 × 2/5) × 2/5 = 108/625 |
| 總計 | 4/25 + 24/125 + 108/625 = 328/625 |
故乙勝的機率為 328/625 = 52.48% ；甲勝的機率為 1 - 328/625 = 297/625 = 47.52%。
乙贏這局的機率稍大。
「有 deuce 規則」的情形： (得分 10:10 後進入deuce，先超過對方兩分者勝)
先看看進入 deuce 後，甲乙拿下這局的機率是分別是多少。 進入 deuce 後有可能沒完沒了，要打好多球才能分出勝負；若列出其中一方獲得的得分組合，有無限多個 (例如乙勝的得分組合：乙乙、{甲乙}乙乙、{甲甲乙乙}乙乙、……)，一一算其機率再以無窮級數求和即可。或者，用以下較簡易的方式來思考計算。
稍微思考：
進入 deuce 後，若要得勝，最後一定要連得兩分，而在此之前雙方得分必然相同 (無論得了多少分)。因此，雙方得勝的機率比例，就是雙方「連得兩分」的機率比例；故 deuce 中甲勝：乙勝 = (3/5)2：(2/5)2 = 9：4，即 deuce 中甲勝的機率為 9/13 ，乙勝的機率為 4/13。
因此，進入 deuce 後甲勝的機會大多了 (兩倍以上)。沒有 deuce 規則時，雖然乙勝機率大於甲，不過也大不了多少；說不定有了 deuce 可以讓甲贏的機會反大過乙。(當然，這裡也只是「說不定」而已，對數字敏銳的人或許能看得出誰大誰小；否則要實際計算後才能肯定。)
實際計算：
進入 deuce 前甲要贏的得分組合，只有甲連得 3 分；故機率為 (3/5)3 = 27/125。
要進入 deuce 的得分組合為 {甲甲乙}，機率為 3 × (3/5 × 3/5 × 2/5) = 54/125 。故進入 deuce 後甲贏的機率為： 9/13 × 54/125 = 486/1625。
故甲勝的機率為 27/125 + 486/1625 = 837/1625 ≈ 51.51% ；乙勝的機率為 1 - 837/1625 = 788/1625 ≈ 48.49%。
這次變成甲贏這局的機率稍大。
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