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沒有足夠的資訊判斷?邏輯謎題

答對率:略
#國中能解

有三張紙牌,上面各標示著一個正整數,將有數字的面朝下蓋在桌子上,
S、H 和 E 三人已經知道了以下資料:
A. 三張牌的號碼皆不一樣
B. 三張牌的數字總和為 13
C. 此三張牌從左到右,有遞增的順序
首先 S 看了最左邊的那一張牌,她說:「沒有足夠的資訊去決定另兩張牌的號碼」。
然後 H 聽了S 的話再看了最右邊的那一張牌說:「我沒有足夠的資訊去決定另兩張牌的號碼」。
最後,E 聽完了 S 與 H 的話再看了中間的那一張牌,然後說:「我仍然沒有足夠的資訊去決定另兩張牌的號碼」。
請問中間那張牌的號碼是
(1) 2 (2) 3 (3) 4 (4) 5 (5)沒有足夠的資訊判斷

wangmath99(兆兆)2天前提供
來源:某屆桃園武陵高中數理資優班甄試題目
看答案
選項(3)的 4

解析

我要編輯
令三張牌由左而右分別為a、b、c,則已知條件有:
(1) 1≤a<b<c (由句子A.與C.和「正整數」得知)
(2) a+b+c=13 (由句子B.得知)
現在我們可以透過證偽排除法逐步限縮數字的範圍
首先找出a的上下界:
已知a最小為1,所以我們要找出a最大只能到多少。
此時我們可以先將13÷3=4.33...,得知a不可能大於4。
假設a=4,則b+c=9⇒(b,c)無解 [若為(4,5),則a=b=4,矛盾] ⇒ a≠4 ⇒ a≤3 。
假設a=3,則b+c=10⇒存在唯一解(b,c)=(4,6) [(5,5)不合],
可是S說她此時無法決定另兩張牌的號碼,表示 a≠3 ⇒ a≤2。
於是我們得到 1≤a≤2,也就是a=1或2
接著找c的上下界:
假設c=10,則a+b=3⇒存在唯一解(a,b)=(1,2),
可是H說她此時無法決定另兩張牌的號碼,因此 c≠10 ⇒ c≤9。
假設c=9,則a+b=4⇒存在唯一解(a,b)=(1,3) [不能是(2,2)],
同理,因為H無法決定,所以 c≠9 ⇒ c≤8。
c的上界找得差不多了,開始找c的下界:(已確定c>4.33)
假設c=5,則a+b=8⇒(a,b)無解 [(4,4)不合] ⇒ c≠5 ⇒ c≥6 。
假設c=6,則a+b=7⇒(a,b)=(3,4)或(2,5) [(1,6)不合],
但是前面已經得出a≠3了,所以(a,b)此時變成唯一解(2,5),
但又因為H是無法決定的,所以該唯一解又被排除⇒ c≠6 ⇒ c≥7 。
於是我們得到 7≤​​​c≤8,也就是c=7或8
現在由於已知a最大=2、c最小=7,我們可以得知 3≤b≤6
但顯然b≠6,否則(a,c)=(0,7)會不合,所以 3≤b≤5。
綜合以上結果,
我們可以發現:
如果b=3,則(a,c)只能是唯一解(2,8);
如果b=5,則(a,c)也只能是唯一解(1,7)。
但最後E也說她無法決定另兩張牌的號碼,
所以b只能是4,而(a,c)可能是(1,8)或(2,7)。
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