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下一道數學謎題
等差和等比數列數學謎題
答對率：100%
從裡面挑出a,c,d剛好是一個等差數列
那麼 等比數列的公比(b/a)為多少?
給沒學過的網友:
等比數列(a,b,c,d) 其中a/b=b/c=c/d
等差數列(a,c,d) 其中c-a=d-c
-------------------8/13補充-------------------
感謝larry(岸輔 鷓)提醒
已把問題修改為b/a
感謝herry31117(katian)讓我發現
原本的題目忘了寫四個數字均不相同...
看答案
(1±√5)/2
解析
我要編輯(我每個步驟都寫的比較簡單清楚 希望大家可以看懂:D)
設等差數列a,c,d公差為x
所以a=c-x d=c+x
等比數列a,b,c,d則變成
c-x,b,c,c+x
根據等比數列的特性:公比相同
所以b/(c-x)=c/b=(c+x)/c
兩兩交叉相乘可以得到
b2=c(c-x) 且 c2=b(c+x)
兩個式子相乘後
b2c2=bc(c-x)(c+x)
左右同除以bc (因為bc都不等於0 所以可以除)
bc=(c-x)(c+x)
bc=c2-x2
c2=bc+x2 將這個式子代入前面的式子c2=b(c+x)
得到 bc+x2=b(c+x)
化簡得 x2=bx
1. 如果x不等於0
設等差數列a,c,d公差為x
所以a=c-x d=c+x
等比數列a,b,c,d則變成
c-x,b,c,c+x
根據等比數列的特性:公比相同
所以b/(c-x)=c/b=(c+x)/c
兩兩交叉相乘可以得到
b2=c(c-x) 且 c2=b(c+x)
兩個式子相乘後
b2c2=bc(c-x)(c+x)
左右同除以bc (因為bc都不等於0 所以可以除)
bc=(c-x)(c+x)
bc=c2-x2
c2=bc+x2 將這個式子代入前面的式子c2=b(c+x)
得到 bc+x2=b(c+x)
化簡得 x2=bx
1. 如果x不等於0
則前式可化成 x=b
回到題目問的 公比=b/(c-x)=c/b (所以算出c/b就是答案)
現在可以改成 公比=b/(c-b)=c/b
化簡後b2=c2-bc
左右同除以b2(因為c不等於0 所以可以除)
得到1=(c/b)2-c/b
令A=c/b
得到1=A2-A
化簡後A2-A-1=0
公式解A=(1±√5)/2
2. 如果x=0
則回到一開始的數列，可得到：c,b,c,c
若此為一等比數列，那麼b也應該要等於c，且公比為1
但題目說四數均不相同，故此解不合
若此為一等比數列，那麼b也應該要等於c，且公比為1
但題目說四數均不相同，故此解不合
綜合以上兩點討論，可得公比為(1±√5)/2
5,667
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（此題為2015農曆新年-GS小鎮的消失之謎使用，非標準海龜湯）
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