等差和等比數列謎題解析--GameSchool遊戲學校

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等差和等比數列 - 謎題解析

(我每個步驟都寫的比較簡單清楚 希望大家可以看懂:D)<hr />設等差數列a,c,d公差為x<br />
所以a=c-x d=c+x<br />
等比數列a,b,c,d則變成<br />
c-x,b,c,c+x<br />
根據等比數列的特性:公比相同<br />
所以b/(c-x)=c/b=(c+x)/c<br />
兩兩交叉相乘可以得到<br />
b<sup>2</sup>=c(c-x) 且 c<sup>2</sup>=b(c+x)<br />
兩個式子相乘後<br />
b<sup>2</sup>c<sup>2</sup>=bc(c-x)(c+x)<br />
左右同除以bc (因為bc都不等於0 所以可以除)<br />
bc=(c-x)(c+x)<br />
bc=c<sup>2</sup>-x<sup>2</sup><br />
c<sup>2</sup>=bc+x<sup>2 </sup>將這個式子代入前面的式子c<sup>2</sup>=b(c+x)<br />
得到 bc+x<sup>2</sup>=b(c+x)<br />
化簡得 x<sup>2</sup>=bx<br />
1.       如果x不等於0<div style="margin-left:40px;">則前式可化成 x=b</div><div style="margin-left:40px;">回到題目問的 公比=b/(c-x)=c/b (所以算出c/b就是答案)</div><div style="margin-left:40px;">現在可以改成 公比=b/(c-b)=c/b</div><div style="margin-left:40px;">化簡後b<sup>2</sup>=c<sup>2</sup>-bc</div><div style="margin-left:40px;">左右同除以b<sup>2</sup>(因為c不等於0 所以可以除)</div><div style="margin-left:40px;">得到1=(c/b)<sup>2</sup>-c/b</div><div style="margin-left:40px;">令A=c/b</div><div style="margin-left:40px;">得到1=A<sup>2</sup>-A</div><div style="margin-left:40px;">化簡後A<sup>2</sup>-A-1=0</div><div style="margin-left:40px;">公式解A=(1±√5)/2</div><div>2.       如果x=0</div><div style="margin-left:40px;">則回到一開始的數列，可得到：c,b,c,c<br />
若此為一等比數列，那麼b也應該要等於c，且公比為1<br />
但題目說四數均不相同，故此解不合</div><div>綜合以上兩點討論，可得公比為(1±√5)/2</div>

備註

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