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草坪的面積 (3)數學謎題

答對率:67%
(再續集~)
又有一塊草坪,形狀也還是正三角形的,三個頂點處都各有一個樁子。草坪中 (不是正中央) 插了一枝旗子。
有個三個小朋友跑到草坪來追逐嬉戲。玩到一半發現,他們三人剛好一人站在三角形草坪的一條邊緣上,而且也剛好都看見旗子與自己對面的樁子重疊。
這時,在「草坪的面積 (1)」出現的那個人,又拿著捲尺到草坪上丈量。結果發現從旗子到三個小朋友的距離,分別是 30 公尺、 40 公尺和 50 公尺。

那麼,這塊草坪的面積是多少?

(假設草坪是在平地上,且旗子和樁子的大小和高度都可忽略。)
mightqxc2013-07-13提供(2013-07-15修改)
看答案
8226 m2 (草坪邊長約  138 m)

這一題用前兩題的方法似乎不太奏效。最直接的方法就是定平面座標來解 (這應該算國中算法吧…)。
設草坪邊長是 r ,三個樁子的座標為 (0,0) 、 (r,0)  、 (r / 2,√3 r / 2) ,那麼三條邊的直線方程也可以得到。 再假設 旗子的位置是 (x,y) ,那麼可以求得樁子到旗子的直線方程;再與三邊的直線方程解交點,就得到三個小朋友的位置。 (分別是 (ry,√3ry) / (√3r-√3x+y) 、(√3rx-ry,0) / (√3r-2y) 、(√3rx,√3ry) / (√3x+y) )。
最後再用距離公式: (x小朋友 -  x)2 + (y小朋友 -  y)2 = 302 (及 402、502) ,共三個式子,可聯立解三個未知數 r, x, y。

不過真正去解的話,當用一次代入消去 把其中一個未知數用另兩個解出時,會發現需要解一個六次多項式,因此沒辦法寫出解析形式的解 (即根式的解,一般而言五次以上的多項式不一定有解析解,除非數字剛好很漂亮。此處不然 = =)。更遑論要再用代入消去 解第二、第三個未知數了。

有沒有漂亮的幾何解法呢?我不知道,但是既然寫不出解來,估計也沒有幾何的解法。

但是可以畫圖粗略估計一下,並用數值方法(或電腦)算數值解:
r  = 137.83 、  x = 80.41 、 y = 39.59 。

我承認,這題有點欺騙大家的感情 (sorry 黑掉了~ > <" )。不過可以看出一點:看起來很類似 (如前兩題) 的問題,解卻是非常不同的。這大概就是幾何令許多人著迷(頭痛)的地方吧。
 

解析

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