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E卡---期望值數學謎題

答對率:80%
      本題靈感出自於一部動漫:【賭博默示錄】,裡面有一種賭博的卡牌遊戲,名為E卡
(E就是emperor皇帝的意思) ,遊戲規則如下:
●  遊戲以2人進行,雙方都各持有5張牌,分為皇帝方和奴隸方。
● 【皇帝方】持有1張皇帝卡和4張平民卡;【奴隸方】持有1張奴隸卡和4張平民卡
●  每回合雙方須同時出一張牌,若有一方的牌大過另一方則遊戲結束,平手則進行下一
    回合,牌的大小關係如右: 皇帝卡>平民卡,平民卡>奴隸卡,但是奴隸卡>皇帝卡。
       
也就是說,此遊戲平手的情況只會是平民對上平民,若第四回合仍為平手,接下來第五回合奴隸方必能勝過皇帝方(因為奴隸卡可殺掉皇帝卡)。
        因為皇帝可殺掉平民,但是奴隸方只能靠奴隸殺掉皇帝獲勝,所以奴隸方獲勝機率較小,所以賠率也會比較大,通常雙方進行數回合後會交換身分避免某一方總是勝利。
(不過這一小段就是題外話了...)
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        好啦,遊戲規則說明完了,接下來就進入正題了:

 【假設隨機變數 代表遊戲結束(也就是任何一方獲勝)所需的回合數,那麼 的期望值E(X)是多少回合呢?】
●如果不知道期望值是什麼......就去查維基百科吧......下方附上網址:3
   https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%9F%E6%9C%9B%E5%80%BC

 
tyson15975(銀色騎士)2018-07-28提供
來源:賭博默示錄
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2.2

解析

我要編輯
假設第1回合遊戲便結束,意思即為「不是平手的情形」,機率為1 - 4/5 x 4/5 = 9/25
(平手的情形為平民對上平民,而雙方各有4張平民卡)
假設第2回合遊戲便結束,意思即為「第一回合平手而第二回合非平手」,機率為
4/5 x 4/5 x (1 - 3/4 x 3/4) = 7/25 (第二回合雙方只剩4張牌,平手情形算法同上)
假設第3回合遊戲便結束,意思即為「第1、2回合平手而第三回合非平手」,機率為
4/5 x 4/5 x 3/4 x 3/4 x (1 - 2/3 x 2/3) =  5/25
以此類推,第4回合結束的機率為3/25,第5回合結束的機率為1/25
→ 所以,期望值 E(X) = 1 x 9/25 + 2 x 7/25 + 3 x 5/25 + 4 x 3/25 + 5 x 1/25 = 55/25
= 11/5 = 2.2 
1,955
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