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顏色帽子邏輯謎題

答對率:67%
黑白帽子大家也應該看過,但把帽子加多又會不會考起各位?
百萬獎金腦力戰這次把舊題改了一改,都是以十人為一單位報名參賽。遊戲規則和上次差不多:

和上次一樣,製作單位準備了一個十階的台階,每個人都站在一階上,接著每個人都面朝台階低處。
製作單位也是準備了十頂帽子,
但這次改成二十種顏色帽子(參加者都知道帽子有什麼顏色),並給每位猜賽者戴一頂帽子(可能相同顏色)。

發完帽子後,由站在最高處的人開始回答自己頭上的帽子是什麼顏色,一路到最低處。
回答的內容中只能說帽子的顏色,其餘不相關的內容或是發出提示等聲響都會被判定淘汰。
和黑白帽子相同,只要十人中有九人答對,那麼該挑戰組就能抱走一百萬獎金。

這次不能再利用奇偶數的方法來判斷,各位又有什麼方法抱走一百萬獎金?
lapis2563(幻柘)2017-09-28提供(2017-09-28修改)
看答案
其實黑白帽子中奇偶數的方法也是運用了同餘這概念
而「黑」代為0
「白」代為1
當最後一個人看到有多少人是白帽子時相加數字(=x)
而x≡0(mod 2)時,說「黑色」,
反之,x≡1(mod 2)時,說「白色」
其他人再計算有多少人是白帽子時,則後面一人計算減去自己的計算,再運用同餘計算自己帽子顏色
同理,不論多少人,不論多少顏色,也能以同餘得知自己帽子顏色(除最後一個人)
把帽子編碼成0~19,
當最後一個人看到帽子時,按照帽子的編碼相加數字(=x)
其他人把後面一人計算減去自己的計算(x-y1-y2...),再運用同餘計算自己帽子顏色

解析

我要編輯
在發完帽子後,最高處的人做的事情,其實是在宣布他看到的九頂帽子的編號總和除以 20 餘多少,之後的九人就可以用倒扣的方式回推自己的顏色編號,而正確回答出他們頭上的帽子顏色。

接下來會用到符號 a mod b = c,表示「a 跟 b 這兩個正整數,a 除以 b 會餘 c」。
假設高處到低處的帽子顏色是 10,14,7,12,16,4,1,19,13,16,
第一個人會算出 (14+7+12+16+4+1+19+13+16) mod 20 = 2,然後講出 2 號顏色
(雖然不是 10 號顏色,但規則允許一個人答錯所以沒關係),
第二個人聽到後,就能解出 (b+7+12+16+4+1+19+13+16) mod 20 = 2 的 b 會是 14,
第三個人聽到後,就能解出 (b+c+12+16+4+1+19+13+16) mod 20 = 2 的 c 會是 7,
第四個人聽到後,就能解出 (b+c+d+16+4+1+19+13+16) mod 20 = 2 的 d 會是 12,
......,
第十個人聽到後,就能解出 (b+c+d+e+f+g+h+i+j) mod 20 = 2 的 j 會是 16。

乍看之下要記住一大堆數字才能計算出結果,其實不需要這樣,
因為可以邊扣邊算,如果會變成負數,加上 20 就行了。
例如最後一個人,在得知 b=14 後就可以扣掉 b,
算出 (c+d+e+f+g+h+i+j) mod 20 = 2-14+20 = 8,
在得知 c=7 後就可以接著扣掉 c,
變成 (d+e+f+g+h+i+j) mod 20 = 8-7 = 1,
以此類推。
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