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打怪遊戲快問快答謎題

答對率:67%
有隻怪物的HP(血量)是1,而你每次的攻擊對牠造成的傷害是0到1之間的亂數(小數趨近無窮多位,且每個數字出現機會均等)。請用直覺估算一下,打死這隻怪物所需次數的期望值(期望要打幾次才能打死該怪物)符合以下哪個條件?
1)比2小
2)恰為2
3)比2大
larry(岸輔 鷓)2013-06-14提供(2013-08-08修改)
來源:同學間的討論
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選項3

簡單判斷方法:
打死所花次數 1 2 3 4 ...
機率   0     非0 非0 非0 非0

所以比2大

解析

我要編輯
1.先算打N次後,怪物沒死之機率
舉N=2為例:
令x,y分別為第一次和第二次的攻擊,可表示為x+y<=1且0<=x,y=1。
由於x與y的小數趨近無限多位,可視做向量(1,0)和(0,1)所夾之三角形與正方形面積比值,即為1/2。剩下以此類推(會用到微積分)。
打N次後沒死 1 2 3 4 N
機率 1/1! 1/2! 1/3! 1/4! 1/N!

2.接著轉換成下表
打死所花次數 1 2 3 4 N
機率  0   1/1! - 1/2! 1/2! - 1/3! 1/3! - 1/4! 1/(N-1)! - 1/N!

期望值便是1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ...
正是自然對數的底e,約為2.71828
3,616
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