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0.999...是否=1?數學謎題

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0.999...是否=1?
kms12426(孫總)2016-03-09提供
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解析

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james0301(過客、), kms12426(孫總)...等 3 人共同編輯 | 歷史版本
0.999.../9=0.111...=1/9
(1/9)x9=1(約分後的結果)
或許我們來個比較大眾化的解析:
0.999...=0.9+0.09+0.009...
    =0.9+0.9x0.1+0.9(0.1)^2...
用無窮等比級數求和公式,可得:
0.999...=0.9(1/(1-0.1))
    =0.9x10/9
    =1
覺得這個還不夠嗎?沒關係,有更簡單的:
設0.999...=a
則10a=9.999...
 10a-a=9a=9.000...=9
  a=1
不過如果數學學得比較深的人可能會知道
其實最後一個解法第一條式子就有問題
問題出在於我們要先說0.999...大約會是一個特定值,否則a可能並不存在
也就是說,如果構造一個無窮數列 0.9, 0.99, 0.999...,則這個無窮數列需要收斂到某個值
事實上,我們可以發現 0.9=1-0.1, 0.99=1-0.01, 0.999=1-0.001
因此對於這個數列,其實這些數都不會大於1,也就是有個"上界"在1
而這個數列本身又是個嚴格遞增數列
因此依據完備性公設,這個數列必定收斂
那麼就可以用上面的方法了 
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