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秤一次問題(五)數學謎題

答對率:86%
上題

不知不覺校慶就要結束了,小楷要來做一個收尾。
「還記得第二關的題目嗎?那時候你最後一瓶拿出了512顆來秤呢。現在同樣有十瓶糖果,不知道幾瓶有毒,只能夠秤一次,最後會根據你拿最多糖果出來的那瓶當中剩餘的糖果數量決定你的獎品。順帶一題如果你拿出512顆,也就是只剩下488顆的話獎品是很爛的喔。」

小治希望獎品越豐富越好,那他應該要怎麼取糖果來秤呢?(也就是取最多糖果那瓶取的數量越少越好)
katian(❀╹◡╹)2015-06-27提供(2015-06-28修改)
看答案
分別取:165、249、291、313、324、330、333、335、336、337顆
(PS. 這是作者能得出最好的解了ˊˇˋ 有更好的解歡迎踢館)
出題當天就被踢爆了ˊˇˋ

解析

我要編輯
(答案參考至這裡)

以下解析說明的部分會用小括號括起並且縮小上提(像這樣)

想像題目是:現在有十袋金幣,每袋有A枚,不知道幾袋真幾袋假,要怎麼秤一次就秤出來?(換成這邊的毒糖果也行)
參考該網頁下面的方法:
取:A, A-1
一:A, A-1
二:2A-1
(2A-1)-1 = A-2 < A-1
取:A, A-1, A-2
一:A ~ A-2
二:2A-1 ~ 2A-3
三:3A-3
(3A-3)-1-(2A-1) = A-3 , (2A-3)-1-A = A-4
取:A, A-1, A-2, A-4
一:A ~ A-4
二:2A-1 ~ 2A-6
三:3A-3 ~ 3A-7
四:4A-7
就這樣一直做到十~
不過這樣太辛苦了,我們可以好好研究裡面出現的數字。
要找下一個是多少時,必須從[(n)袋中最小的數字]-1-[(n-1)袋中最大的數字],並且取最小值
因為前後相減,如果只看A的部分一定會剩一個A;互相比大小又可以省略中間的-1
所以只要看減號後面的數字即可,即[(n)袋中最大的數字(這裡指的是減號後面的數字)]-[(n-1)袋中最小的數字],並且取最大值
以下以第五袋為例
三(7)-二(1) = 6 , 二(6)-一(0) = 6 
取:A, A-1, A-2, A-4, A-7(-6-1)
一:A ~ A-7
二:2A-1 ~ 2A-11
三:3A-3 ~ 3A-13
四:4A-7 ~ 4A-14
五:5A-14
接者再研究我們拿來減的數字
如上面三(7)其來由是(A-1)+(A-2)+(A-4)得到A-7來的
所以取的數字也只看減號後面的數字的話
三的最大值即是最大的三個數相加,二的最小值即是最小的兩個數相加
以下以第六袋舉例
已取:0, 1, 2, 4, 7
需檢查:(7+4)-0、(7+4+2)-(0+1)、(7+4+2+1)-(0+1+2)
我們可以發現上式減號左邊的數是從右邊(0,1,2,4,7的7)一個一個加進來;右邊的數是從左邊(0,1,2,4,7的0)一個一個加進來。並且左邊的數會比右邊的數多一個。
也就是說,從第一式的左邊取7+4右邊取0,到第二式再+2-1,第三式再+1-2,可以發現,如果所有的數字都被取完了,那其得到的結果就是我們要的最大值。
第六袋就是後三減前二 = (7+4+2)-(0+1) = 12
取:0, 1, 2, 4, 7, 13(12+1)
到此已經不需要把每種情況寫出來,故略。
第七袋:前四減後三 = (13+7+4+2)-(0+1+2) = 23
取:0, 1, 2, 4, 7, 13, 24
依此類推,到十是0, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 46, 88, 172
現在列出範圍
一:A ~ A-172
二:2A-1 ~ 2A-260
三:3A-3 ~ 3A-306
(略)
在這些範圍彼此不能重覆到的最小的A,就是我們要的答案
所以(2A-260)要大於A,(3A-306)要大於(2A-1)
移項就會發現,我們要找的A,正好是第十一袋的值 = (172+88+46+24+13)-(0+1+2+4)+1 = 337 
把337帶回A,就得到此題的答案了。
稍微列出幾項來找那串數列的規律:
0 1 2 4 7 13 24 46
a b c d e f g h
  a+1 b+1 c+b-a+1 d+c+b-b-a+1 e+d+c-b-a+1 f+e+d+c-c-b-a+1 g+f+e+d-c-b-a+1
被右減 b-a c-a d-b e-b f-c g-c  

f(1)=0,f(2)=1,f(n)=f(n-1)×2-f([n/2])([]是高斯符號) ,n為大於2的自然數。
用此方法的優點是不用寫程式就可以知道答案
缺點是答案並不一定是最小值(從7袋開始就不是,而且越差越大)
原因是我們把每袋的情況弄成一個範圍,而這個範圍裡面不是每個數字都被用到,所以可能可以減得更少,但這樣就不方便計算了。
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