秤一次問題(五)謎題解析--GameSchool遊戲學校

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秤一次問題(五) - 謎題解析

(答案參考至<a href="http://emn178.pixnet.net/blog/post/98946351" target="_blank">這裡</a>) 
 
以下解析說明的部分會用小括號括起並且縮小上提(像這樣) 
 
想像題目是：現在有十袋金幣，每袋有A枚，不知道幾袋真幾袋假，要怎麼秤一次就秤出來？(換成這邊的毒糖果也行) 
參考該網頁下面的方法：<hr />取：A, A-1 
一：A, A-1 
二：2A-1<hr />(2A-1)-1 = A-2 &lt; A-1 
取：A, A-1, A-2 
一：A ~ A-2 
二：2A-1 ~ 2A-3 
三：3A-3<hr />(3A-3)-1-(2A-1) = A-3 ， (2A-3)-1-A = A-4 
取：A, A-1, A-2, A-4 
一：A ~ A-4 
二：2A-1 ~ 2A-6 
三：3A-3 ~ 3A-7 
四：4A-7<hr />就這樣一直做到十~ 
不過這樣太辛苦了，我們可以好好研究裡面出現的數字。<hr />要找下一個是多少時，必須從[(n)袋中最小的數字]-1-[(n-1)袋中最大的數字]，並且取最小值 
因為前後相減，如果只看A的部分一定會剩一個A；互相比大小又可以省略中間的-1 
所以只要看減號後面的數字即可，即[(n)袋中最大的數字(這裡指的是減號後面的數字)]-[(n-1)袋中最小的數字]，並且取最大值 
以下以第五袋為例<hr />三(7)-二(1) = 6 ， 二(6)-一(0) = 6  
取：A, A-1, A-2, A-4, A-7(-6-1) 
一：A ~ A-7 
二：2A-1 ~ 2A-11 
三：3A-3 ~ 3A-13 
四：4A-7 ~ 4A-14 
五：5A-14<hr />接者再研究我們拿來減的數字 
如上面三(7)其來由是(A-1)+(A-2)+(A-4)得到A-7來的 
所以取的數字也只看減號後面的數字的話 
三的最大值即是最大的三個數相加，二的最小值即是最小的兩個數相加 
以下以第六袋舉例<hr />已取：0, 1, 2, 4, 7 
需檢查：(7+4)-0、(7+4+2)-(0+1)、(7+4+2+1)-(0+1+2) 
我們可以發現上式減號左邊的數是從右邊(0,1,2,4,7的7)一個一個加進來；右邊的數是從左邊(0,1,2,4,7的0)一個一個加進來。並且左邊的數會比右邊的數多一個。 
也就是說，從第一式的左邊取7+4右邊取0，到第二式再+2-1，第三式再+1-2，可以發現，如果所有的數字都被取完了，那其得到的結果就是我們要的最大值。 
第六袋就是後三減前二 = (7+4+2)-(0+1) = 12 
取：0, 1, 2, 4, 7, 13(12+1) 
到此已經不需要把每種情況寫出來，故略。<hr />第七袋：前四減後三 = (13+7+4+2)-(0+1+2) = 23 
取：0, 1, 2, 4, 7, 13, 24<hr />依此類推，到十是0, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 46, 88, 172 
現在列出範圍 
一：A ~ A-172 
二：2A-1 ~ 2A-260 
三：3A-3 ~ 3A-306 
(略) 
在這些範圍彼此不能重覆到的最小的A，就是我們要的答案 
所以(2A-260)要大於A，(3A-306)要大於(2A-1) 
移項就會發現，我們要找的A，正好是第十一袋的值 = (172+88+46+24+13)-(0+1+2+4)+1 = 337  
把337帶回A，就得到此題的答案了。<hr />稍微列出幾項來找那串數列的規律：<table align="center" border="1" style="width:700px;"><tr><td>0</td>
<td>1</td>
<td>2</td>
<td>4</td>
<td>7</td>
<td>13</td>
<td>24</td>
<td>46</td>
</tr><tr><td>a</td>
<td>b</td>
<td>c</td>
<td>d</td>
<td>e</td>
<td>f</td>
<td>g</td>
<td>h</td>
</tr><tr><td> </td>
<td>a+1</td>
<td>b+1</td>
<td>c+b-a+1</td>
<td>d+c+b-b-a+1</td>
<td>e+d+c-b-a+1</td>
<td>f+e+d+c-c-b-a+1</td>
<td>g+f+e+d-c-b-a+1</td>
</tr><tr><td>被右減</td>
<td>b-a</td>
<td>c-a</td>
<td>d-b</td>
<td>e-b</td>
<td>f-c</td>
<td>g-c</td>
<td> </td>
</tr></table> 
f(1)=0，f(2)=1，f(n)=f(n-1)×2-f([n/2])([]是高斯符號) ，n為大於2的自然數。<hr />用此方法的優點是不用寫程式就可以知道答案<img class="mood mo_P" src="/images/_.gif" alt="" /> 
缺點是答案並不一定是最小值(從7袋開始就不是，而且越差越大) 
原因是我們把每袋的情況弄成一個範圍，而這個範圍裡面不是每個數字都被用到，所以可能可以減得更少，但這樣就不方便計算了。

備註

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