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秤一次問題(三)數學謎題

答對率:70%
上題

「第四關要用這邊的十個瓶子,每個瓶子裡只有140顆糖果。並且10瓶裡面,恰有3瓶有毒。規則都和之前一樣,只能秤一次就要找出是哪三瓶。」

「你們這攤位放那麼多毒藥沒問題嗎...」

這次小治要從十個瓶子裡分別拿幾顆出來秤重才能過關呢?
katian(❀╹◡╹)2015-06-15提供(2015-06-15修改)
看答案
分別為:0、1、2、4、7、13、24、44、81、139 顆
(可能有其他解,比方說都再加一顆,在此舉一例)
話說小楷發現不管加幾瓶毒藥,都難不倒小治,於是他接下來打算變點花樣...
 

解析

我要編輯
如以數列表示每罐該拿出的糖的數量的話,就是製造非負整數數列 {A(i)} ,滿足:
  • A(n+1) > A(n) ,即嚴格遞增,每項都不同。
  • 對於任何正整數 n > 3 ,A(n) ≠ A(i) + A(j) - A(k) ,且 n > i > j > k。
  • 對於任何正整數 n > 5 ,A(n) ≠ A(i) + A(j) + A(k) - A(l) - A(m) ,且 n > i > j > {k, l} (k, l 誰大不一定), l > m。比上一題多了這一個條件。
本題情況有限制糖數,故讓此數列越小越好。故先選 A(1) = 0 、 A(2) = 1,A(3) = 2,之後就按以上條件逐項寫出即可。例如要找 A(4) 可以是多少,則依上述條件:A(3) + A(2) - A(1) = 2 + 1 - 0 = 3 ;A(4) 要大於 A(3) 且不能是以上的數字,則最小可能的值就是 4 了。同理,A(5) 最小會找出 7 來。
找最小的 A(6),除了滿足第二個條件之外 (會算出不能等於 8~11,在此省略),還要考慮到第三個條件;即:
A(6) ≠ A(5) + A(4) + A(3) - A(2) - A(1) = 7 + 4 + 2 - 1 - 0 = 12
A(6) ≠ A(5) + A(4) + A(2) - A(3) - A(1) = 7 + 4 + 1 - 2 - 0 = 10
所以最小的 A(6) = 13。

依此方法繼續,即可以找到每一項,應該就會得到本題答案。(其實我偷懶沒有真的去算到解答那麼多項,有人逐步列出計算過或寫程式確認過解答嗎?)
 
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