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秤一次問題(二)數學謎題

答對率:64%
上題

「現在進行第三關,這邊新準備了十個瓶子,為了避免你又數的那麼辛苦,這次每個瓶子裡只有60顆糖果。」
「並且給你一個很大的提示:10瓶裡面恰2瓶有毒。規則都和之前一樣,只能秤一次就要找出是哪兩瓶。」

小治要從十個瓶子裡分別拿幾顆出來秤重才能過關呢?
katian(❀╹◡╹)2014-07-26提供(2014-07-26修改)
看答案
分別為0、1、2、4、7、12、20、29、38、52 顆
(可能有其他解,在此舉例其一)
(略)
「作為這關的獎品,可以拿走這關使用的其中一個瓶子和裡面的糖果,還是要挑戰下一關呢?」
「當然要挑戰到最後一關囉!!」

解析

我要編輯

呃…反正呢…就是這個…嗯…哦對,每罐拿出的糖果數,任兩種相加的值都不一樣。
然後不能超過 60,不然糖會不夠。
好…恩,就這樣。
 

正式一點來說,如以數列表示每罐該拿出的的話,就是製造非負整數數列 {A(i)} 滿足以下條件:
  • A(n+1) > A(n) ,即嚴格遞增,每項都不同。
  • 對於任何正整數 n > 3 ,A(n) ≠ A(i) + A(j) - A(k) , i, j, k < n 且 i > j > k。
如果找個數列如 A(n+2) = A(n+1) + A(n) + 1, 是可以滿足以上條件的,可惜這樣的數列不夠小,無法滿足題目要求 (這樣造出的數列最小是:0, 1, 2, 4, 7, 12, 20, 33, 54, 88,第十項超過 60 ,糖不夠)。
本題情況有限制糖數,故讓此數列越小越好。故先選 A(1) = 0 、 A(2) = 1,A(3) = 2,之後就按以上條件逐項寫出即可。例如要找 A(4) 可以是多少,則依上述條件:
  • A(3) + A(2) - A(1) = 2 + 1 - 0 = 3 ;
A(4) 要大於 A(3) 且不能是以上的數字,則最小可能的值就是 4 了。

依照這樣做,找出的就會是解答所提供的數列。據解答再舉一例,如已知前七項:0, 1, 2, 4, 7, 12, 20,試找 A(8),則檢驗以下:
  • 20 + 12 - 7 = 25  ;  20 + 12 - 4 = 28  ;  20 + 12 - 2 = 30  ;  20 + 12 - 1 = 31  ;  20 + 12 - 0 = 32  ;
  • 20 + 7 - 4 = 23  ;   20 + 7 - 2 = 25  ;  20 + 7 - 1 = 26  ;  20 + 7 - 0 = 27  ;  
  • 20 + 4 - 2 = 22  ;  20 + 4 - 1 = 23  ;  20 + 4 - 0 = 24  ;  
  • 20 + 2 - 1 = 21  ;  20 + 2 - 0 = 22  ;  
  • 20 + 1 - 0 = 21 
不是 20 (即第七項) 開頭的式子不用檢驗,因為在找到 20 這一項的時候就檢驗過那些式子了。
A(8) 要大於 A(7) 且不能是以上的數字,最小可能的值就是 29 (次小的才是 A(8) + A(7) +1 = 33)。

解答的解並不是唯一。例如,把解答的每一項都加 1 ,即: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 30, 39, 53 (前幾項看似費氏數列),也是一種解。

最小的解 A(n) 有沒有公式呢?至少我不會推,而且搜不到。



 
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