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數列P數學謎題

答對率:69%
有一個數列P,數列P有頭無尾,且有一定的規律。
耀羽將前幾項擷取下來成有頭有尾的數列Y,
因為耀羽覺得數大 便是美,所以選取了不少項加入數列Y,
而且耀羽也很喜歡質數,所以擷取的項數為質數,
此外數列Y的最後一項為1。

而你已知以下為數列P的四個片段(按出現順序排列,每片段不一定相接):
片段A:1,1,3,3,1,1
片段B:4,6,4,1,1,5
片段C:15,6,1,1,7,21
片段D:1,1,8,28,56,70
1為數列P的第28項。

請依照上方敘述回答以下問題:

Q1.請問1,1,1分別是數列P的第幾項?
Q2.數列P內哪項數字出現的次數最少?
Q3.數列P前999項內共出現幾項為1?
Q4.將數列Y的奇數項之和減掉偶數項之和,求其解?
Q5.數列Y內所有數之和,有多少種質因數?又分別是?

※雖然此謎題以數列為其主題,但因為所含數學成分較高,故分類在數學而非找規律
jen8810556(耀☆羽)2015-04-17提供(2015-04-17修改)
來源:自創
看答案
A1. 1為第10項,1為第15項,1為第37項
A2. 2
A3. 88項
A4. 2
A5. 1種,質因數只有2

解析

我要編輯
Q1.請問1,1,1分別是數列P的第幾項?
首先我們要先由4個片段判斷出數列P為帕斯卡三角形的由上而下由左而右列出
之後就能從中找到這3個1的位置

Q2.數列P內哪一個數字出現的次數最少?
因為數列P為無尾,而有學過的人知道帕斯卡三角形左右對稱
因此從第四橫列的1,3,3,1開始,3以後的數字都最少會出現2次
而1能出現於帕斯卡三角形每橫列的最左和最右
於是剩下的數字即為2,實際上,也只有第3橫列的1,2,1有出現2

Q3.數列P前999項內共出現幾次1?
首先我們要先知道999項能排出多大的三角形,方便進行計算
三角形數的公式為1/2n(n+1),用比較好計算的1000代入
1/2n(n+1)<1000
n(n+1)<2000
這裡耀羽將2000開根號得到約44.72,故n=44會最靠近2000
而1/2(44)(45)=990<1000
故可以從999項中取出高為44的三角形數,即前990項,剩下9項
而帕斯卡三角形中,每一橫行的最左和最右均為1
因第一橫行只有1項故只有1個1,因此前990項有2×44-1=87個1
第45行的前9項中第1項也為1,故共有87+1=88項1

Q4.將數列Y的奇數項之和減掉偶數項之和,求其解?
帕斯卡三角形的每一橫行(第一橫行除外)奇數項總和與偶數項總和的差為0
因為帕斯卡三角形的第n+1橫行即為(x+y)n的各項係數
因此可以這樣證明:
令ak為帕斯卡三角形的第n+1橫行的第k個數(即(x+y)n的第k項係數)
(x+y)n=a1xn+a2xn-1y1+a3xn-2y2+……+an-1x1yn-1+anyn
將x代入1,y代入(-1)
(1-1)n=a1-a2+a3-……+(-1)n-1an-1+(-1)nan=0
故奇數項總和與偶數項總和相減為0
由題目可知擷取的項數為質數,且數列Y的最後一項為1
已知1必出現在每橫行的最左和最右,故最後一項的編號必為三角形數或三角形數+1
因為三角形數1/2n(n+1)除非n或(n+1)=1or2,否則必不為質數
由此得知最後一項的編號為三角形數+1
而前面的三角形數除了第一橫列的1外,其他橫列的皆可相消
質數除了2外必為奇數,題目又說項數難以數出故不可能只有2項
故最後一項編號為奇數,故奇數項總和減掉偶數項總和為1+1=2

Q5.數列Y內所有數之和,有多少種質因數?又分別是?
帕斯卡三角形的第n+1橫行的總和為2n(n為0或正整數)
因為帕斯卡三角形的第n+1橫行即為(x+y)n的各項係數
因此可以這樣證明:
令ak為帕斯卡三角形的第n+1橫行的第k個數(即(x+y)n的第k項係數)
(x+y)n=a1xn+a2xn-1y1+a3xn-2y2+……+an-1x1yn-1+anyn
將x代入1,y代入1
(1+1)n=a1+a2+a3+……+an-1+an=2n
故得知帕斯卡三角形同一橫行的總和必為2n

若有n橫行,其總和即為20+21+22+……+2n-1=1(2n-1)/2-1=2n-1
(等比級數公式:a(rn-1)/r-1,a為首項,r為公比,n為項數)
承解析4,最後一項的編號為三角形數+1,即除最後一項外所有項的總和必為2n-1
又得知最後一項為1,故Y數列所有數字的總和為2n-1+1=2n
而n為橫行數量(不計最後一項的那排˙)
4,126
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