Q1.請問1,1,1分別是數列P的第幾項？
首先我們要先由4個片段判斷出數列P為帕斯卡三角形的由上而下由左而右列出
之後就能從中找到這3個1的位置

Q2.數列P內哪一個數字出現的次數最少？
因為數列P為無尾，而有學過的人知道帕斯卡三角形左右對稱
因此從第四橫列的1,3,3,1開始，3以後的數字都最少會出現2次
而1能出現於帕斯卡三角形每橫列的最左和最右
於是剩下的數字即為2，實際上，也只有第3橫列的1,2,1有出現2

Q3.數列P前999項內共出現幾次1？
首先我們要先知道999項能排出多大的三角形，方便進行計算
三角形數的公式為1/2n(n+1)，用比較好計算的1000代入
1/2n(n+1)<1000
n(n+1)<2000
這裡耀羽將2000開根號得到約44.72，故n=44會最靠近2000
而1/2(44)(45)=990<1000
故可以從999項中取出高為44的三角形數，即前990項，剩下9項
而帕斯卡三角形中，每一橫行的最左和最右均為1
因第一橫行只有1項故只有1個1，因此前990項有2×44-1=87個1
第45行的前9項中第1項也為1，故共有87+1=88項1

Q4.將數列Y的奇數項之和減掉偶數項之和，求其解？
帕斯卡三角形的每一橫行（第一橫行除外）奇數項總和與偶數項總和的差為0
因為帕斯卡三角形的第n+1橫行即為(x+y)ⁿ的各項係數
因此可以這樣證明：
令ak為帕斯卡三角形的第n+1橫行的第k個數（即(x+y)ⁿ的第k項係數）
(x+y)ⁿ=a1xⁿ+a2x^n-1y¹+a3x^n-2y²+……+an-1x¹y^n-1+anyⁿ
將x代入1，y代入(-1)
(1-1)ⁿ=a1-a2+a3-……+(-1)^n-1an-1+(-1)ⁿan=0
故奇數項總和與偶數項總和相減為0
由題目可知擷取的項數為質數，且數列Y的最後一項為1
已知1必出現在每橫行的最左和最右，故最後一項的編號必為三角形數或三角形數+1
因為三角形數1/2n(n+1)除非n或(n+1)=1or2，否則必不為質數
由此得知最後一項的編號為三角形數+1
而前面的三角形數除了第一橫列的1外，其他橫列的皆可相消
質數除了2外必為奇數，題目又說項數難以數出故不可能只有2項
故最後一項編號為奇數，故奇數項總和減掉偶數項總和為1+1=2

Q5.數列Y內所有數之和，有多少種質因數？又分別是？
帕斯卡三角形的第n+1橫行的總和為2ⁿ（n為0或正整數）
因為帕斯卡三角形的第n+1橫行即為(x+y)ⁿ的各項係數
因此可以這樣證明：
令ak為帕斯卡三角形的第n+1橫行的第k個數（即(x+y)ⁿ的第k項係數）
(x+y)ⁿ=a1xⁿ+a2x^n-1y¹+a3x^n-2y²+……+an-1x¹y^n-1+anyⁿ
將x代入1，y代入1
(1+1)ⁿ=a1+a2+a3+……+an-1+an=2ⁿ
故得知帕斯卡三角形同一橫行的總和必為2ⁿ

若有n橫行，其總和即為2⁰+2¹+2²+……+2^n-1=1(2ⁿ-1)/2-1=2ⁿ-1
（等比級數公式：a(rⁿ-1)/r-1，a為首項，r為公比，n為項數）
承解析4，最後一項的編號為三角形數+1，即除最後一項外所有項的總和必為2ⁿ-1
又得知最後一項為1，故Y數列所有數字的總和為2ⁿ-1+1=2ⁿ
而n為橫行數量（不計最後一項的那排˙）