數列P謎題解析--GameSchool遊戲學校

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數列P - 謎題解析

Q1.請問1,1,1分別是數列P的第幾項？ 
首先我們要先由4個片段判斷出數列P為帕斯卡三角形的由上而下由左而右列出 
之後就能從中找到這3個1的位置 
 
Q2.數列P內哪一個數字出現的次數最少？ 
因為數列P為無尾，而有學過的人知道帕斯卡三角形左右對稱 
因此從第四橫列的1,3,3,1開始，3以後的數字都最少會出現2次 
而1能出現於帕斯卡三角形每橫列的最左和最右 
於是剩下的數字即為2，實際上，也只有第3橫列的1,2,1有出現2 
 
Q3.數列P前999項內共出現幾次1？ 
首先我們要先知道999項能排出多大的三角形，方便進行計算 
三角形數的公式為1/2n(n+1)，用比較好計算的1000代入 
1/2n(n+1)&lt;1000 
n(n+1)&lt;2000 
這裡耀羽將2000開根號得到約44.72，故n=44會最靠近2000 
而1/2(44)(45)=990&lt;1000 
故可以從999項中取出高為44的三角形數，即前990項，剩下9項 
而帕斯卡三角形中，每一橫行的最左和最右均為1 
因第一橫行只有1項故只有1個1，因此前990項有2×44-1=87個1 
第45行的前9項中第1項也為1，故共有87+1=88項1 
 
Q4.將數列Y的奇數項之和減掉偶數項之和，求其解？ 
帕斯卡三角形的每一橫行（第一橫行除外）奇數項總和與偶數項總和的差為0 
因為帕斯卡三角形的第n+1橫行即為(x+y)n的各項係數 
因此可以這樣證明： 
令ak為帕斯卡三角形的第n+1橫行的第k個數（即(x+y)n的第k項係數） 
(x+y)n=a1xn+a2xn-1y1+a3xn-2y2+……+an-1x1yn-1+anyn 
將x代入1，y代入(-1) 
(1-1)n=a1-a2+a3-……+(-1)n-1an-1+(-1)nan=0 
故奇數項總和與偶數項總和相減為0 
由題目可知擷取的項數為質數，且數列Y的最後一項為1 
已知1必出現在每橫行的最左和最右，故最後一項的編號必為三角形數或三角形數+1 
因為三角形數1/2n(n+1)除非n或(n+1)=1or2，否則必不為質數 
由此得知最後一項的編號為三角形數+1 
而前面的三角形數除了第一橫列的1外，其他橫列的皆可相消 
質數除了2外必為奇數，題目又說項數難以數出故不可能只有2項 
故最後一項編號為奇數，故奇數項總和減掉偶數項總和為1+1=2 
 
Q5.數列Y內所有數之和，有多少種質因數？又分別是？ 
帕斯卡三角形的第n+1橫行的總和為2n（n為0或正整數） 
因為帕斯卡三角形的第n+1橫行即為(x+y)n的各項係數 
因此可以這樣證明： 
令ak為帕斯卡三角形的第n+1橫行的第k個數（即(x+y)n的第k項係數） 
(x+y)n=a1xn+a2xn-1y1+a3xn-2y2+……+an-1x1yn-1+anyn 
將x代入1，y代入1 
(1+1)n=a1+a2+a3+……+an-1+an=2n 
故得知帕斯卡三角形同一橫行的總和必為2n 
 
若有n橫行，其總和即為20+21+22+……+2n-1=1(2n-1)/2-1=2n-1 
（等比級數公式：a(rn-1)/r-1，a為首項，r為公比，n為項數） 
承解析4，最後一項的編號為三角形數+1，即除最後一項外所有項的總和必為2n-1 
又得知最後一項為1，故Y數列所有數字的總和為2n-1+1=2n 
而n為橫行數量（不計最後一項的那排˙）

備註

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