好玩遊戲
懷舊Flash遊戲
網友自造遊戲
益智謎題
討論區
站內活動
我的GS
線上人數：139
精選謎題列表
所有精選謎題
我解過的
我未解過的
其它謎題列表
所有其它謎題
近期新增
高評等
高人氣
我解過的
我未解過的
謎題分類
邏輯
數學
找規律
空間概念
快問快答
移動成立
創造力
謎語
偵探思考
眼腦並用
文字拆解圖
其他
數列P
- 謎題解析
回謎題解析頁
|
歷史版本
如何編輯？
Q1.請問<strong><span style="color:#0000FF;">1</span></strong>,<strong><span style="color:#FF8C00;">1</span></strong>,<strong><span style="color:#006400;">1</span></strong>分別是數列P的第幾項？<br /> 首先我們要先由4個片段判斷出數列P為帕斯卡三角形的由上而下由左而右列出<br /> 之後就能從中找到這3個1的位置<br /> <br /> Q2.數列P內哪一個數字出現的次數最少？<br /> 因為數列P為無尾，而有學過的人知道帕斯卡三角形左右對稱<br /> 因此從第四橫列的1,3,3,1開始，3以後的數字都最少會出現2次<br /> 而1能出現於帕斯卡三角形每橫列的最左和最右<br /> 於是剩下的數字即為2，實際上，也只有第3橫列的1,2,1有出現2<br /> <br /> Q3.數列P前999項內共出現幾次1？<br /> 首先我們要先知道999項能排出多大的三角形，方便進行計算<br /> 三角形數的公式為1/2n(n+1)，用比較好計算的1000代入<br /> 1/2n(n+1)<1000<br /> n(n+1)<2000<br /> 這裡耀羽將2000開根號得到約44.72，故n=44會最靠近2000<br /> 而1/2(44)(45)=990<1000<br /> 故可以從999項中取出高為44的三角形數，即前990項，剩下9項<br /> 而帕斯卡三角形中，每一橫行的最左和最右均為1<br /> 因第一橫行只有1項故只有1個1，因此前990項有2×44-1=87個1<br /> 第45行的前9項中第1項也為1，故共有87+1=88項1<br /> <br /> Q4.將數列Y的奇數項之和減掉偶數項之和，求其解？<br /> 帕斯卡三角形的每一橫行（第一橫行除外）奇數項總和與偶數項總和的差為0<br /> 因為帕斯卡三角形的第n+1橫行即為(x+y)<sup>n</sup>的各項係數<br /> 因此可以這樣證明：<br /> 令a<span style="font-size:12.5px;">k</span>為帕斯卡三角形的第n+1橫行的第k個數（即(x+y)<sup>n</sup>的第k項係數）<br /> (x+y)<sup>n</sup>=a<span style="font-size:12.5px;">1</span>x<sup>n</sup>+a<span style="font-size:12.5px;">2</span>x<sup>n-1</sup>y<sup>1</sup>+a<span style="font-size:12.5px;">3</span>x<sup>n-2</sup>y<sup>2</sup>+……+a<span style="font-size:12.5px;">n-1</span>x<sup>1</sup>y<sup>n-1</sup>+a<span style="font-size:12.5px;">n</span>y<sup>n</sup><br /> 將x代入1，y代入(-1)<br /> (1-1)<sup>n</sup>=a<span style="font-size:12.5px;">1</span>-a<span style="font-size:12.5px;">2</span>+a<span style="font-size:12.5px;">3</span>-……+(-1)<sup>n-1</sup>a<span style="font-size:12.5px;">n-1</span>+(-1)<sup>n</sup>a<span style="font-size:12.5px;">n</span>=0<br /> 故奇數項總和與偶數項總和相減為0<br /> 由題目可知擷取的項數為質數，且數列Y的最後一項為1<br /> 已知1必出現在每橫行的最左和最右，故最後一項的編號必為三角形數或三角形數+1<br /> 因為三角形數1/2n(n+1)除非n或(n+1)=1or2，否則必不為質數<br /> 由此得知最後一項的編號為三角形數+1<br /> 而前面的三角形數除了第一橫列的1外，其他橫列的皆可相消<br /> 質數除了2外必為奇數，題目又說項數難以數出故不可能只有2項<br /> 故最後一項編號為奇數，故奇數項總和減掉偶數項總和為1+1=2<br /> <br /> Q5.數列Y內所有數之和，有多少種質因數？又分別是？<br /> 帕斯卡三角形的第n+1橫行的總和為2<sup>n</sup>（n為0或正整數）<br /> 因為帕斯卡三角形的第n+1橫行即為(x+y)<sup>n</sup>的各項係數<br /> 因此可以這樣證明：<br /> 令a<span style="font-size:12px;">k</span>為帕斯卡三角形的第n+1橫行的第k個數（即(x+y)<sup>n</sup>的第k項係數）<br /> (x+y)<sup>n</sup>=a<span style="font-size:12px;">1</span>x<sup>n</sup>+a<span style="font-size:12px;">2</span>x<sup>n-1</sup>y<sup>1</sup>+a<span style="font-size:12px;">3</span>x<sup>n-2</sup>y<sup>2</sup>+……+a<span style="font-size:12px;">n-1</span>x<sup>1</sup>y<sup>n-1</sup>+a<span style="font-size:12px;">n</span>y<sup>n</sup><br /> 將x代入1，y代入1<br /> (1+1)<sup>n</sup>=a<span style="font-size:12px;">1</span>+a<span style="font-size:12px;">2</span>+a<span style="font-size:12px;">3</span>+……+a<span style="font-size:12px;">n-1</span>+a<span style="font-size:12px;">n</span>=2<sup>n</sup><br /> 故得知帕斯卡三角形同一橫行的總和必為2<sup>n</sup><br /> <br /> 若有n橫行，其總和即為2<sup>0</sup>+2<sup>1</sup>+2<sup>2</sup>+……+2<sup>n-1</sup>=1(2<sup>n</sup>-1)/2-1=2<sup>n</sup>-1<br /> （等比級數公式：a(r<sup>n</sup>-1)/r-1，a為首項，r為公比，n為項數）<br /> 承解析4，最後一項的編號為三角形數+1，即除最後一項外所有項的總和必為2<sup>n</sup>-1<br /> 又得知最後一項為1，故Y數列所有數字的總和為2<sup>n</sup>-1+1=2<sup>n</sup><br /> 而n為橫行數量（不計最後一項的那排˙）
備註
送出