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平方趣味1：初步辨認法
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如何編輯？
以下提供三種證明法：<br /> <br /> 一、用和的平方公式證明<br /> 令n為自然數（正整數），a為整數且-25≦a≦25<br /> (50n+a)<sup>2</sup><br /> =(50n)<sup>2</sup>+2×50n×a+a<sup>2</sup><br /> =2500n<sup>2</sup>+100an+a<sup>2</sup><br /> =100(25n<sup>2</sup>+an)+a<sup>2</sup><br /> 由此可證(50n+a)<sup>2</sup>的後2碼必為a<sup>2</sup>的後2碼<br /> 而1~25和(-1)~(-25)的平方數相同<br /> 而0,10,20的平方後2碼皆為00，5,15,25的平方後2碼皆為25<br /> 所以情況共有26-4=22種<br /> 其中算式中的26代表0~25，而4為重複的部分<br /> 而後3碼或更多碼(後k碼)亦可用(5n×10<sup>k-1</sup>+a)<sup>2</sup>證實後k碼必定重複。<br /> <br /> 二、用遞迴關係式證明<br /> n<sup>2</sup>的遞迴關係式如下：<br /> <img src="http://gameschool.cc/ugc/img/content/d4/1d/5591.png" style="height:55px;width:600px;" alt="" /><br /> 即平方數為1,3,5,7,9……由1開始的連續奇數相加構成，<br /> 而我們知道49+51=100，而兩者往前和往後提又分別是47+53，類推往外<br /> 證明法如下：<br /> <img src="http://gameschool.cc/ugc/img/content/d4/1d/5589.png" style="height:394px;width:600px;" alt="" /><br /> 則x或(x+n)至少有一個為25的倍數時，an和an+2x的後2碼就相同<br /> 由於x是變數，故至少有一個n加上任意變數x時最多加上24，最少加上0會變為25的倍數<br /> 所以所有整數平方的後2碼都會和0~25平方的後兩碼相同，去除掉重複的00和25後，答案即為22個<br /> 而後3碼或更多碼(後k碼)亦可用an+4x(x+n)<br /> 證實x或(x+n)至少有一個為10<sup>k</sup>/4的倍數時後k碼必定重複（一碼時不適用）。<br /> <br /> 三、用平方差公式證明<br /> n<sup>2</sup>-x<sup>2</sup>+x<sup>2</sup><br /> =(n+x)(n-x)+x<sup>2</sup><br /> (n+x)(n-x)為100的倍數時，尾數為x<sup>2</sup><br /> 因為兩者相差2x，故兩者皆為奇數或皆為偶數<br /> 當兩者皆為偶數時，只要其中一項是50的倍數，另一項就會是2的倍數<br /> 將n-x代入50a（其中a為0或正整數），得(50a)(50a+2x)=100a(25a+x)<br /> 將n+x代入50b（其中b為正整數），得(50b)(50b-2x)=100b(25b+x)<br /> n要透過±x來變為50的倍數時，最多只要±25即可用最少步數達成目標<br /> 故當-25≦x≦25即可滿足條件<br /> 因為尾數為x<sup>2</sup>，故將負數部分和後2碼相同，多餘的00和25者去掉<br /> 即可得到有22種解<br /> 而後3碼或更多碼(後k碼)亦可用(5a×10<sup>k-1</sup>)(5a×10<sup>k-1</sup>+2x)=(a×10<sup>k</sup>)(25a×10<sup>k-2</sup>+x)<br /> 或者(5b×10<sup>k-1</sup>)(5a×10<sup>k-1</sup>-2x)=(a×10<sup>k</sup>)(25a×10<sup>k-2</sup>-x)<br /> 透過調整變數x使n±x形成5×10<sup>k-1</sup>證實後k碼必定重複（一碼時不適用）。
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