平方趣味1：初步辨認法謎題解析--GameSchool遊戲學校

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平方趣味1：初步辨認法 - 謎題解析

以下提供三種證明法： 
 
一、用和的平方公式證明 
令n為自然數（正整數），a為整數且-25≦a≦25 
(50n+a)2 
=(50n)2+2×50n×a+a2 
=2500n2+100an+a2 
=100(25n2+an)+a2 
由此可證(50n+a)2的後2碼必為a2的後2碼 
而1~25和(-1)~(-25)的平方數相同 
而0,10,20的平方後2碼皆為00，5,15,25的平方後2碼皆為25 
所以情況共有26-4=22種 
其中算式中的26代表0~25，而4為重複的部分 
而後3碼或更多碼(後k碼)亦可用(5n×10k-1+a)2證實後k碼必定重複。 
 
二、用遞迴關係式證明 
n2的遞迴關係式如下： 
<img src="http://gameschool.cc/ugc/img/content/d4/1d/5591.png" style="height:55px;width:600px;" alt="" /> 
即平方數為1,3,5,7,9……由1開始的連續奇數相加構成， 
而我們知道49+51=100，而兩者往前和往後提又分別是47+53，類推往外 
證明法如下： 
<img src="http://gameschool.cc/ugc/img/content/d4/1d/5589.png" style="height:394px;width:600px;" alt="" /> 
則x或(x+n)至少有一個為25的倍數時，an和an+2x的後2碼就相同 
由於x是變數，故至少有一個n加上任意變數x時最多加上24，最少加上0會變為25的倍數 
所以所有整數平方的後2碼都會和0~25平方的後兩碼相同，去除掉重複的00和25後，答案即為22個 
而後3碼或更多碼(後k碼)亦可用an+4x(x+n) 
證實x或(x+n)至少有一個為10k/4的倍數時後k碼必定重複（一碼時不適用）。 
 
三、用平方差公式證明 
n2-x2+x2 
=(n+x)(n-x)+x2 
(n+x)(n-x)為100的倍數時，尾數為x2 
因為兩者相差2x，故兩者皆為奇數或皆為偶數 
當兩者皆為偶數時，只要其中一項是50的倍數，另一項就會是2的倍數 
將n-x代入50a（其中a為0或正整數），得(50a)(50a+2x)=100a(25a+x) 
將n+x代入50b（其中b為正整數），得(50b)(50b-2x)=100b(25b+x) 
n要透過±x來變為50的倍數時，最多只要±25即可用最少步數達成目標 
故當-25≦x≦25即可滿足條件 
因為尾數為x2，故將負數部分和後2碼相同，多餘的00和25者去掉 
即可得到有22種解 
而後3碼或更多碼(後k碼)亦可用(5a×10k-1)(5a×10k-1+2x)=(a×10k)(25a×10k-2+x) 
或者(5b×10k-1)(5a×10k-1-2x)=(a×10k)(25a×10k-2-x) 
透過調整變數x使n±x形成5×10k-1證實後k碼必定重複（一碼時不適用）。

備註

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