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有幾個人及格?數學謎題

答對率:67%

老師出了五題題目給全班50個人回答,
第一題有40個人答對,
第二題有30個人答對,
第三題有31個人答對,
第四題有45個人答對,
第五題有35個人答對;

老師說要答對三題以上的人才算及格,
請問班上至少有多少人及格呢?

NaoLiBuJi(腦力補給)2013-02-06提供
來源:http://www.morningrefresh.com/iq/daily/2013-02-06/
看答案

27人。

解析

我要編輯

這題倒過來用最多不及格人數來算會比較好計算;

不及格表示要錯三題以上,
第一~五題各有10、20、19、5、15人答錯,總共有10+20+19+5+15=69題答錯,
答錯的總題數是固定的,
最多不及格的人就是不及格的每個人都是答錯最少題數(三題)的狀況,
因此最多不及格的會有69/3=23人,
最少及格人數就是所有人減掉最多不及格的:50-23=27人。


當題目裡的裡的數字是隨意給的時候,要直接求出答案是有困難的,
但我們卻能夠快速驗證「及格人數有沒有可能不超過N人」。

例如想要驗證「及格人數有沒有可能不超過39人」,
反過來說就是「不及格人數有沒有可能不低於11人」,
(之後會解釋為什麼要倒過來而不直接用答對人數來算)
而第一~五題各有10、20、19、5、15人答錯,
把答錯的題目盡可能分到這11個人身上:

  A B C D E F G H I J K
錯題i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
錯題ii 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3
錯題iii 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4
錯題iv 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5
錯題v 5 5 5 5              

每個人在同一題最多只會錯一次,就算有題目高達20人錯,
分在這11人身上也只能一人各錯一次。
根據以上的結果,這11個人都沒有及格(錯至少3題),
(其實不需要真的畫表格,只要驗證(10+11+11+5+11)/11≥3就好)
因此「不及格人數可以不低於11人」,
代表「及格人數可以不超過39人」。

最後因為我們檢查的是「不超過N」,如果在N=K有可能,
那在N>K時也是有可能,所以要確認答案就像玩猜數字,
如果不可能就試更大一點的,如果可能就試更小一點的,
可以確認N=26時不可能,但N=27時可能,答案就是27人。
(下方表格是不及格的23人的一種情況)

  A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W
錯題i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
錯題ii 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
錯題iii 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

前面的步驟講到要倒過來算,
那直接用答對人數來做類似的檢驗會發生什麼事情?
找出的會是最多可以有幾個人及格(這題是50人)。
因為根據檢驗本身的特性,當我們得到「可以不低於X人」時,
並不代表「可以剛好有X人」,比如說,
用答對人數得出了「及格人數可以不低於10人」,
可是實際上卻找不出「剛好10人及格」的情況。

10,091
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