積木的個數謎題解析--GameSchool遊戲學校

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積木的個數 - 謎題解析

因為郭芙的積木數量為平方數，可以假設她有 y2 塊積木，y 是正整數。並且假設楊過有 n 塊積木。 
從他們的對話得知，郭芙與楊過積木數量的和與差都是平方數，故可以假設： 
(i)  x2 = y2 - n ; z2 = y2 + n ，x, z 是正整數。 
 
把 (i) 的兩式聯立消去 n ，得 y2 - x2 = z2 - y2 ，用乘法公式，得 (y-x)(y+x) = (z-y)(z+y) 。 
再將上式移項變成相除之後，令其最簡分數是 u / v  (亦即 u, v 是互質的正整數)： 
(ii)  (y+x) / (z-y) = (z+y) / (y-x) = u / v 
 
把 (ii) 的兩式 (兩個等號) 交叉相乘整理一下，把 u, v 當係數，x, y, z 當變數，寫成 ...x + ... y + ... z = ... 的型式： 
(iii)  ux + (v-u) y + vz = 0  ;   vx + (u+v) y - uz = 0 
 
將 (iii) 兩式聯立，解 x, y, z。雖然只有兩個方程式不夠解出三個未知數，但是常數項剛好是 0 ，所以至少能解出 x, y, z 的比例，令其比值為最簡分數 a / b ，a, b 是互質正整數： (可以用加減消去來解聯立；但若會高中向量的話，把兩式的係數當成向量，然後外積便是。) 
(iv)  x / (u2 -2uv -v2) = y / (u2 + v2) = z / (u2 + 2uv -v2) = a / b 
 
因為 (iv) 中的三個分母的最大公因數就是 b。用輾轉相除法的觀念化簡 (即相加相或減後公因數不變) ，先看第一個和第三個分母，可得： 
b 要整除 (u2 -2uv -v2) - (u2 +2uv - v2) = 4uv 
再把第二個分母考慮進來，得： 
(v)  b 要整除 gcd(4uv，u2 + v2)      ，這裡 gcd 是最大公因數的意思。 
 
注意到 u, v 是互質的，故 u-v 與 u, v 都會互質，故 gcd(uv, u2 + v2) = gcd(uv, u2 - 2uv + v2) = gcd(uv, u-v) = 1 
因此得到： 
(vi)  gcd(4uv，u2 + v2) = gcd(4，u2 + v2)  = 1 或 2 
u, v 都是奇數時，上式等於 2 ；一奇一偶時上式等於 1 (不難證，留給有興趣的朋友)。因為 u, v 互質，不可能同為偶數。 
 
根據 (v) 和 (vi)，得： 
(vii)  b = 1 或 2         (u, v 都是奇數時，等於 2 ；一奇一偶時等於 1) 
 
再從 (iv) 和 (vii)，就得到 x, y, z 的正整數解形式了 (注意 a 是正整數)。然後根據 (i) ，把 n 也算出來 (用平方差公式化簡後因式分解即可)，整理如下表： 
 <table align="center" border="1" style="width:500px;"><tr><td>(viii)</td>
<td>當 u, v 都是奇數時</td>
<td>當 u, v 是一奇一偶時</td>
</tr><tr><td>x, y, z</td>
<td> x = a (u2 -2uv -v2) / 2 
y = a (u2 + v2) / 2 
z = a (u2 + 2uv -v2) / 2</td>
<td> x = a (u2 -2uv -v2) 
y = a (u2 + v2) 
z = a (u2 + 2uv -v2)</td>
</tr><tr><td>n</td>
<td>a2uv(u+v)(u-v)</td>
<td>4a2uv(u+v)(u-v)</td>
</tr></table> 
另外，從楊過拼的長方體可知他的積木數量是三個不同質數的積的 4 倍，故： 
(ix)  n = 4pqr      ， p, q, r 是三個不同的質數。 
 
根據 (viii) 和 (ix) ，聯立就能解 n 了。不妨先假設 u, v 都是奇數時的情況，得： 
(x)  4pqr = a2uv(u+v)(u-v)  
注意上式等號左邊具有的因數中，是平方數的只有 1 和 4 (因為 p, q, r 是相異質數，就算其中一個是 2 也一樣。)；因此從等號右邊可得到 a = 1 或 2。 
 
當 a = 2 時：  pqr = uv(u+v)(u-v) 
很顯然上式等號右邊的四個數 {u, v, (u+v), (u-v)} 就是正整數 {1, p, q, r} (沒有照順序)。 
但是這四個數中較大的兩個 (u+v), u 不能是 1；且因 u, v 都是奇數， u-v 是偶數，也不能是 1。 
故唯有 v = 1，因為 u 和 (u-v) 都要是質數，故唯有 u = 3 ；但這樣一來 (u+v) = 4 並非質數，不合。 
故 a = 2 時無解。 
 
當 a = 1 時：  4pqr = uv(u+v)(u-v) 
留意到因為 u, v 互質，故上式等號右邊的四個數彼此都要互質，所以 {u, v, (u+v), (u-v)} 就是 {1, 4p, q, r}  或 {4, p, q, r}  或 {1, 2p, 2q, r} 或 {2, 2p, q, r} 四種狀況 (沒有照順序)。 
 {1, 4p, q, r} 的狀況：只有 v 可能是 1 (理由同上)；設 v = 1：因為 u-v 和 u+v 是偶數，且分別要是 4p 和另一質數，故唯有 u-v = 2 、u = 3，但此時 u+v = 4 ≠ 4p ，不合。因此 {1, 4p, q, r} 的狀況無解。 
 {4, p, q, r} 的狀況：因為 u-v 和 u+v 是偶數，且分別要是 4 和另一質數，故唯有 u+v = 4、u-v = 2、u = 3、v = 1；但此時 v = 1 並非質數，故不合。因此 {4, p, q, r} 的狀況無解。 
 {1, 2p, 2q, r} 的狀況：只有 v 可能是 1 (理由同上)；設 v = 1：因為 u-v 和 u+v 是偶數，所以分別是 2p 和 2q，故唯有 u-v = 4、u+v = 6、u=5、v=1 一組解。 
代回 (viii) ，得兩人積木數量的解： 
n = 12×5×1×6×4 = 120  ;  y2 = (1 (52 + 12) / 2)2 = 169。 
 
再來假設 u, v 是一奇一偶的情況，得： 
(xi)  pqr = a2uv(u+v)(u-v)  
 
明顯上式中必然有 a = 1 ；也有 {u, v, (u+v), (u-v)} 就是正整數 {1, p, q, r}，且較大的兩個 (u+v), u 不能是 1。 
如果是 v = 1，因為 u 和 (u-v) 都要是質數，故唯有 u = 3 ；但此時 u, v 並非一奇一偶，不合。 
故唯有 u-v = 1、 u = 3、v  = 2 、u+v = 5 一種解。 
代回 (viii) ，得兩人積木數量的解： 
n = 22×3×2×5×1 = 120  ;  y2 = (2 (32 + 22) / 2)2 = 169。 
 
所以無論哪一種狀況，都得到 楊過有 120 塊、郭芙有 169 塊積木。

備註

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