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十次整除的十位數數學謎題

答對率:61%

有個沒有重複數字的十位數,
它的數字組成有個特殊的規律:單看前N位數組成的數字剛好是N的倍數

如:(假設這個十位數是ABCDEFGHIJ)
前一位數是1的倍數,(A是1的倍數)
前兩位數是2的倍數,(AB是2的倍數)
前三位數是3的倍數,(ABC是3的倍數)
...

請問這個數字是多少呢?

NaoLiBuJi(腦力補給)2013-07-24提供
來源:http://www.morningrefresh.com/iq/daily/2013-07-24/
看答案

3816547290

解析

我要編輯
A) 因為 0~9 各只能用一次,有五個奇數五個偶數;由於偶數的倍數末位只能是偶數,故偶數位的地方只能放偶數 (剛好5個對5 個),因此剩下奇數位只能放奇數。(這邊的第幾位都是從左邊開始算起,下同。)
B) 5 的倍數末位只能是 5 或 0 ,而 10 的位數末位一定是 0 。因此第五位是 5 ,第十位是 0。
C) 看前四位數:根據 A ,奇數位的地方只能是奇數,故第三位為奇數。由於前四位數是 4 的倍數,且第三位為奇數,故第四位 一定要是 2 或 6 (而不能是 4、8)。
D) 同理,因前八位數是 8 的倍數 (也是 4 的倍數),但第六位是偶數,第七位是奇數,故第八位數一定要是 2 或 6,而且可得知:若第七位為 3、7 時,第八位為 2 (第四位就只好是 6);若第七位為 1、9 時,第八位為 6 (第四位就只好是 2)。
E) 因此,第二、第六位則是剩下的 4、8。
F) 注意到前三位數是 3 的倍數,前六位數是 6 的倍數,因此「第四到第六位數」,也是 6 (或 3) 的倍數。由於第五位已知為 5 ,所以如果第四位是 2 ,第六位就要是 8 (第二位只好是 4);如果第四位是 6 ,第六位就要是 4 (第二位只好是 8)。

先整理一下:(空格的地方可能是 1、3、7、9,就不打上了。)
位數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Case 1   4   2 5 8 1 6   0
Case 2   4   2 5 8 9 6   0
Case 3   8   6 5 4 3 2   0
Case 4   8   6 5 4 7 2   0

G) 前三位數是 3 的倍數,也是 6 (或 3) 的倍數。根據這樣把第一位和第三位填入上表即可。舉例,Case 1 的第二位為 4 ,第七位為 1,所以第一、三位只能放 3, 7, 9,且相加除以 3 的餘數要為 2 。發現不可能做到,故 Case 1 就不成立了。剩下的 Case 如下: (第九位也可推出)
位數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Case 2 1, 7 4 7, 1 2 5 8 9 6 3 0
Case 3 1, 9
7, 9
8 9, 1
9, 7
6 5 4 3 2 7
1
0
Case 4 1, 3
1, 9
8 3, 1
9, 1
6 5 4 7 2 9
3
0

H) 上表三個 Case 中共有 10 種可能,故最後只能靠前七位數是否整除 7 來判斷了。其實也不會太耗計算,因為每個 Case 的第四到第七位都已知道,故可先算「第四到第七位除以 7 的餘數」:可得 Case 2 的為 6,Case 3 的為 5 ,Case 4 的為 2;又因 10000 除以 7 餘 4,因此「前三位除以 7 的餘數 乘以 4 ,再除以 7 的餘數」,Case 2 的要是 1,Case 3 的要是 2 ,Case 4 的要是 5。

I) 前三位計算餘數,手算一下滿快的 (厲害的人可以心算~) 。以下很快敘述一下: (只要看前三位就好)
Case 2 的 147 已經是 7 的倍數了,所以不合 (因第四到第七位還有餘數);Case 2 的 741 除以 7 餘 6 ,6×4=24,除以 7 餘 3,也不合 (要是 1 才行)。
Case 3 的 189 和 987 已經是 7 的倍數了,所以不合;Case 3 的 981 除以 7 餘 1 ,1×4=4,除以 7 餘 4,也不合 (要是 2 才行);Case 3 的 789 除以 7 餘 5,5×4=20,除以 7 餘 6,也不合 (要是 2 才行)
Case 4 的 189 已經是 7 的倍數了,所以不合;Case 4 的 138 除以 7 餘 5 ,5×4=20,除以 7 餘 6,也不合 (要是 5 才行);Case 4 的 981 除以 7 餘 1,1×4=4,除以 7 餘 4,也不合 (要是 5才行);Case 4 的 381 除以 7 餘 3,3×4=12,除以 7 餘 5,總算合了,得到答案為 3816547290 (也是唯一的答案)。
J) 第一位和第九位一定會合,不用檢查。(因為前九位是 1~9 排列組成,一定是 9 的倍數)

以上文字敘述雖然長,但是大都可以用思考或心算得到 (不用太多計算)。

 
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