1) 1
2) 無限大
3) √2
4) 無解
5) 無解

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第一題，不管把 y 算到哪 1 層次方，都是 1 的 1 次方，所以答案還是 1 。

第二題，多算幾層次方就會發現，數字越來越大，而且增大的很快。如：2² = 4 ，2⁴ = 16，2¹⁶ = 65536，2⁶⁵⁵³⁶ = ……。可以大膽地說是無限大了。
(要證明的話，簡單來說，可以說明每算一層次方，數字至少變成原來的兩倍以上。既然 每次兩倍： 2, 4, 8, 16, ... 最後都會變成無限大，那 y = 2^(2^(2^(...^2))) 當然也是無限大。)

第三題，可用以下方法算出 x：
根據題目， y = x^(x^(x^(x^(...^x)))) ，但是因為有無限個 x 次方，所以：
y = x^(x^(x^(x^(...^x)))) = x^(x^(x^(x^(x^(...^x))))) = x^y  = x^y
這裡 y = 2 ，故得到 2 = x² ，所以 x = √2   。  (注意 x 要是正實數) 

第四題，如法炮製以上的方法，可得 3 = x³ ，故 x = ³√3 ≒ 1.442 。(3 的立方根)
可惜，這是錯誤的答案。如果真的把 x 代 ³√3 去計算 x^(x^(x^(x^(...^x)))) ，多算幾個次方之後，會發現 x^(x^(x^(x^(...^x)))) 的值會趨近 約 2.478 (每多算一層次方，值會越來越大，但是會越來越接近 2.478... 不會再更大。)，而不會是 3。

同理，第五題用以上方法得到 x = ⁴√4 = √2 。但是第三題已經告訴我們， x = √2 時 y 應該要是 2 (而不是 4)。

也可以用另一個看法看出第四、五題算出答案有問題。如果這兩題的解真的就是 ³√3 和 ⁴√4 = √2 的話，表示：
³√3^(³√3^…^(³√3)) = 3
√2^(√2^…^(√2)) = 4 ，大於上一行的 3 。
但是，很明顯當 x 越大的時候，y = x^(x^(x^(x^(...^x)))) 也要越大才對，而 ³√3 > √2 ！表示解一定有哪裡出錯了。

可以見得，看上去類似的問題，貿然用同一招來解的話，常會有誤。
以下說明，給有興趣的朋友參考：
 

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從第三題的做法，可以知道，如果 y 存在 (歷經無限個次方之後仍是有限值，沒有發散)，則 y = x^y ，也就是 x = y^1/y = ^y√y 。
畫一個 ^y√y 對 y 的圖：



這個圖形長得很奇怪，主要的特徵如下：

• y = 1 的時候，^y√y 也等於 1。
• y = 0 的地方 ^y√y 無定義，但是 y 趨近於 0 的時候，^y√y 也趨近 0。
• y 趨近無限大的時候，^y√y 趨近 1 (見上圖)。
• y = e ≒ 2.718 的時候，^y√y 會有最大值 ^e√e ≒ 1.445 。

以上特徵 (除了第一點)，可能要會一點微積分才能得，此處不贅述。
把圖放大來看：



可以從圖形中看到，當 x = ^y√y = √2 ≒ 1.414 的時候，y = 2 是一個解 (當然，圖中還看得到右邊有另一個解是 y = 4)。這就符合第三題 (和第五題) 的情形。

第四題的情形，當 x = ^y√y = ³√3 ≒ 1.442 的時候，y = 3 是一個解 (較大)，而 y = 2.478 也是一個解 (較小)。到底哪一個才是對的呢？如上所述實際去計算，得到 y = 2.478 才對，而不是 3 。

如果多試幾種 x, y 值，可以發現，滿足 y = x^(x^(x^(x^(...^x)))) 的 y 值，在圖中總是較小的那個解 (y < e) ，而不會是較大的解 (y > e) 。

如果會疊代法的話，可以看出這一點。例如：x = √2 ，則令函數 f(z) = (√2)^z ，一開始 z 代 √2 ，算函數值，然後再代入函數 (其實這就是在一層一層地算次方)，重複多次後，就會趨近 y = x^(x^(x^(x^(...^x)))) 。從圖形在看的話，如下圖：


圖中，紅色曲線是 f(z) = (√2)^z 的圖形，而藍色直線是 f(z) = z 的圖形。綠色線就是疊代過程：從 z = √2 開始，直走碰到紅線，橫走碰到藍線，再直走碰紅線，再橫走碰藍線，…；綠線每碰到一次紅線，交點的縱座標值就代表做完一層次方的得到的值。可以看出，最後綠線會趨向紅藍線的交點，縱座標值為 2，這也就是說  y = x^(x^(x^(x^(...^x)))) = 2 ，即第三題的情形。

注意：因為綠線一開始是從 z = √2 出發，因此最後會趨近 2 這個解 (左邊的紅藍交點)，而不是較大的另一個解 (右邊的紅藍交點，它的值是 4 ，這就是第五題的情況。)。同理，第四題的情形，如果  x = ³√3 ，則 y 應該是較小的 2.478 ，而不是較大的 3；而 y =3 的話 x 就無解。

下圖是放大上圖疊代的部分：


另外，如果 x > ^e√e  ≒ 1.445 ，從最上面的粉紅色線的圖可以看出，不會有 y 的解 (因為超過 ^y√y 的最大值)。
從疊代法的圖也可以看得出來。注意，當 x > ^e√e 時，函數 f(z) = x^z (紅線) 和 f(z) = z (藍線) 是不會有交點的 (原因要用一點較深的數學，如微積分)。例如，x = 3/2 = 1.5 > 1.445，則疊代圖形如下圖：


可以看出，因為紅藍線沒有交點，故疊代的綠線就可以一直衝到無限大，不會收斂到有限值。第二題的情形也是如此。


結論：

• 當 y > e ≒ 2.718 的時候，y = x^(x^(x^(x^(...^x)))) 無法解出 x 來。
• 當 x > ^e√e  ≒ 1.445 時，y = x^(x^(x^(x^(...^x)))) 不存在 (會趨近無限大而發散)。

 

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如果有朋友願意提供完整 (或部分) 的證明，歡迎寫在解析 ~