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求角度 (二)數學謎題

答對率:69%
如圖,有一個四邊形 ABCD 。其中 ∠B = 90° ,∠BAD = ∠ADC = 96°,邊長 AB = 1,AD = 2。

請問 ∠ DAC 是幾度?
mightqxc2013-11-27提供(2013-11-28修改)
來源:學長
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30°
 

解析

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首先,算得 ∠DCE = 78°。作第一次輔助線:在 BC 上畫一點 E 使 AE = 2 ,連 AE再連 DE。這樣一來 △ABE 是 邊長比 1 : √3 : 2 的直角三角形,故 ∠AEB = 30°,∠BAE = 60°,∠DAE = 36°。
  • 由上可得 ∠DAE = 36°。又因 AD = AE = 2 ,得 △ ADE 是等腰三角形;故 ∠ADE = ∠ AED = 72°。
  • 由上得到 ∠DEC = 78° ,得 △ DEC 是等腰三角形;故 DE = DC ,且 ∠ CDE = 24°。
現在只要看 四邊形 ADCE 就好。其中已經有一些邊長相等了,那麼就仿照上一題的方法,想辦法弄一個正三角形出來。作第二次輔助線:在 AE 上畫一點 F 使 ∠EDF = 36° ,連 DF再連 FC。這樣一來,∠CDF = 60°。
  • 由上得到 ∠ADF = 36°,得 △ ADF 是等腰三角形;故 AF = DF ,且 ∠ CDE = 24°。
  • 另一方面,△ DEF 也是等腰三角形 (剛好與 △ADE 相似,都是黃金比例三角形);故 DF = DE,∠DFE = 72°。
  • 因此由上得到 DF = DC;加上有 ∠CDF = 60°,得 △DCF 是正三角形;故 CF = DF, ∠ DFC = 60°,∠CFE = 12 °。 
  • 由上得到 CF = AF,故△ AFC 是等腰三角形;故 ∠FAC = ∠ FCA 。
  • 但是因為 ∠FAC + ∠ FCA = ∠CFE = 12 °,故由上可得 ∠FAC = 6° ,因此 ∠ DAC = 30°。

或許有朋友覺得畫這些輔助線太刁鑽;不過即使用三角函數解,雖然直接就可以列式,但是要解方程式的難度並不亞於幾何解法。舉例來說,設 ∠DAC = x ,不畫輔助線也很容易用正弦定理來列式,可得: sin(x-6°) cos6° = 1/2 cos(x+6°) (或是其它等價的式子);但是要解卻不容易,有興趣的朋友可以試試 (我還沒想到什麼好方法解)。
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