走「馬」看花謎題解析--GameSchool遊戲學校

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走「馬」看花 - 謎題解析

<img src="https://i.imgur.com/dYsNfQc.png" style="height:400px;width:400px;" alt="" /> 
上圖藍點位置的馬只能走到紅色路徑相連的黑點， 
但每個點只能經過一次，即最多只能被兩條路徑相連， 
如果每個黑點的路徑都連向兩個藍點，就會形成循環。 
將其中一段紅色路徑拿掉，便可以形成一段-(藍-黑)4-的路徑， 
除此之外，也能將路徑拆分成(藍-黑)k-和-(黑-藍)4-k的兩組， 
而因為藍點只有通往黑點的路徑，故無法拆分成三組以上不連續的紅色路徑， 
否則拆分出來的藍點沒辦法連到紅色路徑以外的路徑上， 
也因此藍點的端點只能作為整條路徑的起點或終點。 
 
<img src="https://i.imgur.com/PR9HmNn.png" style="height:400px;width:400px;" alt="" /> 
現在思考上圖紅點位置能走的路徑， 
除了走向中央的白點外，只能走向紫色的路徑。 
這些紫色的路徑也會形成一個循環， 
但一樣可以將一段紫色路徑拿掉，形成-(紅-灰)8-的路徑。 
 
若不中途走向白點，而黑點有可以連向灰點的路徑，紅點有可以連向白點的路徑， 
因此可以找到一條(藍-黑)4-(灰-紅)8-白的路徑。 
如果中途走向白點，則可以再將-(紅-灰)8-的路徑拆成-(紅-灰)n-和-(紅-灰)8-n， 
可以形成(藍-黑)4-(灰-紅)n-白-(紅-灰)8-n的路徑，即第n個紅點時連向白點的路徑。 
而因為黑點只能連到灰點，無法連到紅點或白點， 
因此以藍點為頭尾的路徑只能是(藍-黑)k-(灰-紅)n-白-(紅-灰)8-n-(黑-藍)4-k的形式。 
 
因此，可以走的路徑只會是(藍-黑)k-(灰-紅)n-白-(紅-灰)8-n-(黑-藍)4-k的形式， 
而當n=0時，k只能=0；n=8時，k只能=4。 
 
先考慮頭尾並非同時都是藍點的狀況（k=0或4）： 
不失一般性，先假設以藍點作為起點， 
那麼共有4種選擇，順時針或逆時針繞又有2種選擇， 
黑點連向灰點有4種選擇，灰點要順時針或逆時針連向紅點又有2種選擇， 
之後在第n個紅點連向白點有8種選擇，因此共有4×2×4×2×8=512種路徑。 
（白點若要連向紅點，則只能連向可與第一個連到的灰點相連的紅點， 
不然會沒辦法連完剩下的點，因此沒有別的可選擇路徑。） 
再算上起點與終點對調的路徑，總共有1024種不同的路徑。 
 
接著換計算頭尾都是藍點的情況（k=1, 2, 3）： 
起點一樣有4種選擇，順逆時針有2種選擇，走過幾個黑點則有3種選擇（k的值）， 
接著黑點連向灰點有4種選擇，灰點要順時針或逆時針連向紅點也有2種選擇， 
接下來，在哪個紅點連向白點（n的值，1到7）會影響走完紫色路徑後會停在哪個灰點， 
但因為我們已經決定好最後-(黑-藍)4-k的路徑了，因此最後停留的灰點是受限的。 
如果要連到灰點的黑點是相鄰的（k=1或3），有一種灰點選擇會使回來的灰點只剩三種選擇； 
如果要連到灰點的黑點是相對的（k=2），那麼有兩種灰點選擇會讓回來的灰點只剩三種選擇。 
（這些會減少選擇的灰點是因為同時可以連到位於起點段和終點段端點的黑點， 
因此這些也可以接到終點段的灰點被起點段被接走後，就不能在終點段被接。） 
因此實際上的路徑數為4×2×(2×(3×2×4+1×2×3)+1×(2×2×4+2×2×3)) 
=4×2×2×(2×(3×4+1×3)+1×(2×4+2×3))=16×(2×15+1×14)=16×44=704。 
 
因此將兩種情況加總，馬在不重複的走完5×5棋盤上的所有位置的路徑共有1024+704=1728種。

備註

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