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最難的數謎 數學謎題

答對率:50%
這肯定是這裡最難的數謎。
一個老師說:我現在想著兩個比1大的自然數。試試猜猜它們。
第一個學生知道它們的乘積,第二個學生知道它們的總和。
第一個:我不知道總和。
第二個:我知道。它們的總和少於14。
第一個:我也知道。但是,現在我知道數字了。
第二個:我也知道了。
是什麼數字?
Newbie( 新星)2019-08-15提供
看答案
號碼是2和9
解析我寫很辛苦快看看....

解析

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wangmath99(兆兆), Newbie( 新星)...等 2 人共同編輯 | 歷史版本
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以下解析由wangmath99(兆兆)提供:
  為了方便討論與閱讀,我先把一些題目中的名稱做以下更改:
 1. 兩數之乘積我簡稱「」,兩數之總和我簡稱「」,
  兩個數我以數對(a,b)的形式呈現,簡稱「」。
 2. 知道積的「第一個學生」叫做「A」,知道和的「第二個學生」叫做「B」。(A積B和)
  現在我們開始解題:
 Step 1:「兩個比1大的自然數
     →已知a>1且b>1
     →a最小為2,b最小也為2沒有(1,12)這種解
 Step 2:「A我不知道總和。
     →知道兩數積的人不知道兩數和
     →這個積的分解方式一定不只一種,否則A就能立即知道是哪兩個數
     →(a,b)一定不會都是質數
     →(a,b)至少有一者為合數
     
Ex:積=4=2x2只有一種分解方式,稱之為「唯一分解積」,
       在之後的列舉當中可以排除。
       而積=12=2x6=3x4有兩種分解方式,就暫時還不能排除。
 Step 3:「B我知道。它們的總和少於14。
     注意這裡的「我知道」的意思很關鍵,將放到最後討論
     →至此我們可以開始列舉所有可能的積與和。
     
首先,我們要把積的範圍找出來,再進行排除。
     最小可能的積為2x2=4,最大可能的積為6x7=42
     承Step 2的推理結果,從4到42的合數中,
     「唯一分解積」都可以被排除了,例如6=2x3,8=2x4,9=3x3...等等。
     排除完「唯一分解積」後,請注意還有一種情況可以被排除,
     那就是「唯一符合積」。
     Ex:42=6x7=3x14=2x21,其中3+14=17 ≧14,2+21=23 ≧14
     只剩(6,7)這一組可能。
     也就是說,如果A今天拿到的積是這種的話,他此時已經可以立刻得知解答了。
     跟42一樣屬於「唯一符合積」的還有
     40=5x8=4x10=2x20 (4+10=14 ≧14,2+20同理)
     32=4x8=2x16 (2+16=18 ≧14)
     28=4x7=2x14 (2+14=16 ≧14)
     因此,這四個可能的積也被排除了。
 綜上所述,我們可以把目前所有剩下的「非唯一分解」的可能整理成如下兩種表格
       ▼以積為首的表A      和       ▼以和為首的表B

     此時同時觀察兩張表並注意一件事:
     如果今天B拿到的和是7,則他現在已經得知解答了(唯一解)
     然而他還沒說他得解,因此和=7的(3,4)這個解可以被排除了
     此時又因為A也因此知道(3,4)被排除了,
     所以如果A拿到的積是12,則他現在也應該得知解答了
     然而他也還沒有說他得解,因此積=12的(2,6)這個解也可以被排除了
     此時又因為B也因此知道(2,6)被排除了,
     所以與上同理,和=8的(4,4)這個解也可以被排除了
     依此類推,積=16的(2,8)這個解也可以被排除了
         →和=10的(4,6)這個解也可以被排除了
         →積=24的(3,8)這個解也可以被排除了
     
至此,還剩下的可能性如下兩表
           ▼表A                        ▼表B 
 Step 4:「A:我也知道。但是,現在我知道數字了。
     →首先關鍵在於「我也知道」,意思是
     即使B還沒講這件事,A也已經知道兩數和一定小於14了
     A是知道積的人,他卻能肯定兩數和必定小於14,
     表示他拿到的積,其分解必定不包含兩數和大於等於14的可能。
     因此,「積=30,積=36」這兩種可能都被排除了!
     因為30可以是2x15,有2+15=17 ≧14的可能,
     如果他拿到的是30就不能肯定兩數和一定小於14了
     同理36=2x18,2+18=20 ≧14
     現在,我們還剩下的可能如下兩表:
            ▼表A                       ▼表B
     此時我們只剩下(2,9),(2,10),(3,6),(4,5)四個解要討論了。
 Step 5:此時若沒有明瞭Step 3說的「我知道」的真正意思
     會發現題目最後兩句「但是A現在知道數字了 且 B也知道了」並不合理。
     因為根據Step 4所得到的表A和表B,
     只要B拿到的和是11或12他就會比A先知道解答,
     然而他卻還不知道,表示他拿到的和應該是9,A才能據此查閱表A而得知解答。
     (例如A如果拿到的積是18,又知道和是9,就知道解答是(3,6))
     而且即使A確實因此知道解答數字了,
     B也仍然會因為無法得知積而不知道解答是(3,6)還是(4,5)。
     因此上述這幾句的思路是錯誤的,
     我們必須探討Step 3說的「我知道」的真正意思:
     這個「我知道」的意思,一般人可能只會覺得是「我知道你不知道總和」,
     
但是回顧我們Step 3最後的那張表A,你會發現B當然能確定A不知道總和
     因為此時表A的每個積都有兩種可能的和
     這麼一來,B的「我知道」豈不是成了廢話嗎?(數學題無廢話,句句皆條件)
     因此我們須注意到在講出它們的總和少於14之前就講出「我知道」,
     所以這個有斷句的「我知道」其實精確來說是指
     已經能確定『你一定不知道總和』」,
     而且是在A講話之前B就知道了!
     換句話說就是「這件事你不用講我也已經知道」,
     並且下一句是「而且我還知道它們的總和少於14」
     這裡真的是整題的最大難點,一般人根本看不出來「我知道」這句話能幹嘛。
     事實上B通常是無法在第一時間確定A肯定不知道總和的
     因為A本來有可能拿到「唯一分解積」(例如15=3x5),
     是A講出「我不知道總和」後,其他人才知道他拿到的不會是「唯一分解積」。
     因此,B手上的「和」有一種特殊性質
     使得他可以據此提早得知A肯定拿到了「非唯一分解積」

     那就是B拿到的「和」不可能分解為兩個質數相加而得!
     
因為如果B拿到的「和」有可能分解為兩個質數相加而得,
     就表示A拿到的「積」有可能是「唯一分解積」。
     Ex:如果B拿到的「和」是8,則8有可能是3+5,所以A有可能拿到15。
     這樣B就不能肯定地說「我知道你一定不知道總和」了。
     驚人的事實是,符合這個特殊性質並且小於14的和就只有11而已!
     (4=2+2, 5=2+3, 6=3+3, 7=2+5, 8=3+5, 9=2+7, 10=3+7, 12=5+7, 13=2+11;
     而11=2+9=3+8=4+7=5+6)
     因此,查閱最後的表B可得知正確解答只可以是和為11的(2,9)
     事實上,如果你有提早發現這個特殊性質,就可以不用做那麼多排除法,
     因為當時要討論的解已經只剩下(2,9)、(3,8)、(4,7)、(5,6)這四個了,
     其中(4,7)在Step 3會因為屬於「唯一符合積」而被排除,
     而(3,8)和(5,6)在Step 3不做「雙表連鎖排除」的情況下,
     仍會在Step 4被A的「我也知道」給排除掉(3x8=24=2x12,2+12=14 ≧14)
結論:這兩位學生是天才,而且第二位講話還不講清楚
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