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最難的數謎 - 謎題解析

<div style="text-align:center;">※由於<a href="http://gameschool.cc/user/Newbie/" target="_blank">Newbie(新星)</a>提供的舊版解析是照抄式翻譯某網頁非優質解析而來，因此已被刪除。 
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以下解析由<a href="http://gameschool.cc/user/wangmath99" target="_blank">wangmath99(兆兆)</a>提供：<hr /><div style="text-align:left;">　　為了方便討論與閱讀，我先把一些題目中的名稱做以下更改： 
　1. 兩數之乘積我簡稱「積」，兩數之總和我簡稱「和」， 
　　兩個數我以數對(a,b)的形式呈現，簡稱「解」。 
　2. 知道積的「第一個學生」叫做「A」，知道和的「第二個學生」叫做「B」。(A積B和) 
　　現在我們開始解題： 
　Step 1：「兩個比1大的自然數」 
　　　　　→已知a＞1且b＞1 
　　　　　→a最小為2，b最小也為2（沒有(1,12)這種解） 
　Step 2：「A：我不知道總和。」 
　　　　　→知道兩數積的人不知道兩數和 
　　　　　→這個積的因數分解方式一定不只一種，否則Ａ就能立即知道是哪兩個數 
　　　　　→(a,b)一定不會都是質數 
　　　　　→(a,b)至少有一者為合數 
　　　　　Ex：積＝4＝2x2只有一種分解方式，稱之為「唯一分解積」， 
　　　　　　　在之後的列舉當中可以排除。 
　　　　　　　而積＝12＝2x6＝3x4有兩種分解方式，就暫時還不能排除。 
　Step 3：「B：我知道。它們的總和少於14。」 
　　　　　［注意這裡的「我知道」的意思很關鍵，將放到最後討論］ 
　　　　　→至此我們可以開始列舉所有可能的積與和。 
　　　　　首先，我們要把積的範圍找出來，再進行排除。 
　　　　　最小可能的積為2x2＝4，最大可能的積為6x7＝42。 
　　　　　承Step 2的推理結果，從4到42的合數中， 
　　　　　「唯一分解積」都可以被排除了，例如6＝2x3，8＝2x4，9=3x3...等等。 
　　　　　排除完「唯一分解積」後，請注意還有一種情況可以被排除， 
　　　　　那就是「唯一符合積」。 
　　　　　Ex：42＝6x7=3x14=2x21，其中3+14=17 ≧14，2+21＝23 ≧14， 
　　　　　只剩(6,7)這一組可能。 
　　　　　也就是說，如果Ａ今天拿到的積是這種的話，他此時已經可以立刻得知解答了。 
　　　　　跟42一樣屬於「唯一符合積」的還有 
　　　　　40＝5x8＝4x10＝2x20 (4+10＝14 ≧14，2+20同理) 
　　　　　32＝4x8＝2x16 (2+16＝18 ≧14) 
　　　　　28＝4x7＝2x14 (2+14＝16 ≧14) 
　　　　　因此，這四個可能的積也被排除了。 
　綜上所述，我們可以把目前所有剩下的「非唯一分解」的可能整理成如下兩種表格： 
　　　　　  ▼以積為首的表Ａ　　　　　　和　　　　　  ▼以和為首的表Ｂ 
<img src="https://i.imgur.com/P1nZuVh.png" style="height:450px;width:280px;" alt="" /><img src="https://i.imgur.com/TqqOk80.png" style="height:450px;width:280px;" alt="" /> 
　　　　　此時同時觀察兩張表並注意一件事： 
　　　　　如果今天Ｂ拿到的和是7，則他現在已經得知解答了(唯一解)， 
　　　　　然而他還沒說他得解，因此和＝7的(3,4)這個解可以被排除了。 
　　　　　此時又因為Ａ也因此知道(3,4)被排除了， 
　　　　　所以如果Ａ拿到的積是12，則他現在也應該得知解答了， 
　　　　　然而他也還沒有說他得解，因此積＝12的(2,6)這個解也可以被排除了。 
　　　　　此時又因為Ｂ也因此知道(2,6)被排除了， 
　　　　　所以與上同理，和＝8的(4,4)這個解也可以被排除了。 
　　　　　依此類推，積＝16的(2,8)這個解也可以被排除了 
　　　　　　　　　→和＝10的(4,6)這個解也可以被排除了 
　　　　　　　　　→積＝24的(3,8)這個解也可以被排除了 
　　　　　至此，還剩下的可能性如下兩表： 
　　　　　　　    ▼表Ａ　　　　　　  　　     　　　　　 　　 ▼表Ｂ <img src="https://i.imgur.com/H3NIsXY.png" style="height:276px;width:280px;" alt="" /><img src="https://i.imgur.com/HLzixGv.png" style="height:276px;width:280px;" alt="" /> 
　Step 4：「A：我也知道。但是，現在我知道數字了。」 
　　　　　→首先關鍵在於「我也知道」，意思是 
　　　　　即使Ｂ還沒講這件事，Ａ也已經知道兩數和一定小於14了。 
　　　　　Ａ是知道積的人，他卻能肯定兩數和必定小於14， 
　　　　　表示他拿到的積，其分解必定不包含兩數和大於等於14的可能。 
　　　　　因此，「積＝30，積＝36」這兩種可能都被排除了！ 
　　　　　因為30可以是2x15，有2+15=17 ≧14的可能， 
　　　　　如果他拿到的是30就不能肯定兩數和一定小於14了。 
　　　　　同理36=2x18，2+18=20 ≧14。 
　　　　　現在，我們還剩下的可能如下兩表： 
　　　　　　　  　  ▼表Ａ　　　　　　  　　     　　　　　　  ▼表Ｂ<img src="https://i.imgur.com/rOUWd2G.png" style="height:158px;width:280px;" alt="" /><img src="https://i.imgur.com/DOfZrpT.png" style="height:158px;width:280px;" alt="" /> 
　　　　　此時我們只剩下(2,9)，(2,10)，(3,6)，(4,5)四個解要討論了。 
　Step 5：此時若沒有明瞭Step 3裡Ｂ說的「我知道」的真正意思， 
　　　　　會發現題目最後兩句「但是Ａ現在知道數字了 且 Ｂ也知道了」並不合理。 
　　　　　因為根據Step 4所得到的表Ａ和表Ｂ， 
　　　　　只要Ｂ拿到的和是11或12他就會比Ａ先知道解答， 
　　　　　然而他卻還不知道，表示他拿到的和應該是9，Ａ才能據此查閱表Ａ而得知解答。 
　　　　 （例如Ａ如果拿到的積是18，又知道和是9，就知道解答是(3,6)） 
　　　　　而且即使Ａ確實因此知道解答數字了， 
　　　　　Ｂ也仍然會因為無法得知積而不知道解答是(3,6)還是(4,5)。 
　　　　　因此上述這幾句的思路是錯誤的， 
　　　　　我們必須探討Step 3裡Ｂ說的「我知道」的真正意思： 
　　　　　這個「我知道」的意思，一般人可能只會覺得是「我知道你不知道總和」， 
　　　　　但是回顧我們Step 3最後的那張表A，你會發現Ｂ當然能確定Ａ不知道總和， 
　　　　　因為此時表A的每個積都有兩種可能的和。 
　　　　　這麼一來，B的「我知道」豈不是成了廢話嗎？(數學題無廢話，句句皆條件) 
　　　　　因此我們須注意到Ｂ是在講出「它們的總和少於14」之前就講出「我知道」， 
　　　　　所以這個有斷句的「我知道」其實精確來說是指 
　　　　　「我已經能確定『你一定不知道總和』」， 
　　　　　而且是在Ａ講話之前Ｂ就知道了！ 
　　　　　換句話說就是「這件事你不用講我也已經知道」， 
　　　　　並且下一句是「而且我還知道它們的總和少於14」。 
　　　　　這裡真的是整題的最大難點，一般人根本看不出來「我知道」這句話能幹嘛。 
　　　　　事實上，Ｂ通常是無法在第一時間確定Ａ肯定不知道總和的， 
　　　　　因為Ａ本來有可能拿到「唯一分解積」(例如15=3x5)， 
　　　　　是A講出「我不知道總和」後，其他人才知道他拿到的不會是「唯一分解積」。 
　　　　　因此，Ｂ手上的「和」有一種特殊性質， 
　　　　　使得他可以據此提早得知Ａ肯定拿到了「非唯一分解積」， 
　　　　　那就是Ｂ拿到的「和」不可能分解為兩個質數相加而得！ 
　　　　　因為如果Ｂ拿到的「和」有可能分解為兩個質數相加而得， 
　　　　　就表示Ａ拿到的「積」有可能是「唯一分解積」。 
　　　　　Ex：如果Ｂ拿到的「和」是8，則8有可能是3+5，所以Ａ有可能拿到15。 
　　　　　這樣Ｂ就不能肯定地說「我知道你一定不知道總和」了。 
　　　　　驚人的事實是，符合這個特殊性質並且小於14的和就只有11而已！ 
　　　　　(4=2+2, 5=2+3, 6=3+3, 7=2+5, 8=3+5, 9=2+7, 10=3+7, 12=5+7, 13=2+11; 
　　　　　而11=2+9=3+8=4+7=5+6) 
　　　　　因此，查閱最後的表Ｂ可得知正確解答只可以是和為11的(2,9)。 
　　　　 ［事實上，如果你有提早發現這個特殊性質，就可以不用做那麼多排除法， 
　　　　　因為當時要討論的解已經只剩下(2,9)、(3,8)、(4,7)、(5,6)這四個了， 
　　　　　其中(4,7)在Step 3會因為屬於「唯一符合積」而被排除， 
　　　　　而(3,8)和(5,6)在Step 3不做「雙表連鎖排除」的情況下， 
　　　　　仍會在Step 4被Ａ的「我也知道」給排除掉(3x8=24=2x12，2+12=14 ≧14)］</div><div>結論：這兩位學生是天才，而且第二位講話還不講清楚。</div></div>

備註

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