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積是和的三倍數學謎題

答對率:82%

有兩個不同的正整數,
已知,這兩個數字的乘積是這兩個數字總合的三倍,
請問這兩個數各是多少呢?

NaoLiBuJi(腦力補給)2013-07-10提供
來源:http://www.morningrefresh.com/iq/daily/2013-07-10/
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4, 12

解析

我要編輯
解一、因式分解法
AB=3(A+B)
→AB-3A-3B=0
→AB-3A-3B+9=9
→(A-3)(B-3)=9
因為A, B是不同的正整數
所以(A-3), (B-3)是不同的整數,且皆大於-3
可知(A-3), (B-3)是1和9
故A=4, B=12或A=12, B=4

解二、因倍數討論
因為A*B=3(A+B)
所以A和B至少有一個是3的倍數
基於對稱性,不妨設A=3k (k為自然數)
則3kB=3(3k+B)
→kB=3k+B
→k(B-3)=B (1)
所以B-3整除B (B-3是B的因數)
可推論B-3整除3,意即B-3是1,3,-1,-3中的一個,但-3不合 (B>0)
因此B只可能為2,4,6,代回(1)式所得的k分別為-2,4,2
但已知k>0,所以B不為2
且A,B不相等,而假如B=6會得到A=3k=6,不合
所以B必為4,此時可得A=12
另一組對應的解為A=4,B=12
3,396
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