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生活數學4-猜拳與機率 (進階題目)數學謎題

答對率:76%
此篇章作者因提交小論文需求,故特別標明
大里高中  林O東 所著

此題你可能會使用(圖片有連結):

說明:
機率是人們在生活中常會碰上的問題,例如:今天的降雨機率、樂透的中獎機率、抽獎的期望值等問題;而猜拳則是人們用來解決分配最好的方法,例如:分配工作時的優先選擇權。當這兩個問題碰在一起,這會產生什麼樣的火花呢?
以下有兩個人猜拳,所有的情況如下:
 
 
平手 甲勝 乙勝
乙勝 平手 甲勝
甲勝 乙勝 平手







藉由表格我們能看到兩個人出拳時總共有9總可能,而甲乙贏的機率皆為1/3,平手的機率是1/3,也就是兩個人之間能分出勝負的機率是2/3 (66.67%),所以2個人要分出結果非常的容易
提問:
1.請計算3人、4人、5人猜拳時,分出勝負的機率?
2.試以2人猜拳能分出勝負之機率作為a1項,3人猜拳能分出勝負之機率作為a2項,4人猜拳能分出勝負之機率作為a3項,n+1人猜拳能分出勝負之機率作為an項,寫出數列<an>之一般式?
3.當人數超過幾人時,每次猜拳能分出勝負的機率將小於10%?
參考資料:
https://www.youtube.com/watch?v=Kgudt4PXs28&t= (影片資料)
b6d950(三雲 修)2018-07-28提供(2018-12-01修改)
看答案
1.
3人->2/3(67%)
4人->14/27(52%)
5人->10/27(37%)
2.   

3.   9人以上(含9人)

解析

我要編輯
2人猜拳情形:
分母: 3X3=9
分子:
能分出勝負的有三種情況:剪刀/石頭、石頭/布、布剪/刀
先探討其中一種,剪刀/石頭總共有2種情形,甲-石頭/乙-剪刀 或是 甲-剪刀/乙-石頭
所以兩人猜拳能分出勝負的機率為
3人猜拳情形:
分母:
分子:
能分出勝負的有三種情況:剪刀/石頭、石頭/布、布剪/刀
先探討其中一種剪刀/石頭:  
(算式說明: 為1刀二石的排列結果, 為2刀一石的排列結果)
再乘上3種情況: 6X3=18
所以三人猜拳能分出勝負的機率為
4人猜拳情形:
5人猜拳情形:
要推出<an>項我們可以借用巴斯卡三角形的性質

他的另一個形式是

我們先討論當a等於2(3人猜拳)時的情況
其中可以發現正好是巴斯卡三角形的第四列減2
所以我們可以將式子分子的部分列為
所以整個<a2>項為
依此類推可以推得他的<a1><a3>及<an>項

利用上面<an>的公式,我們可以求得當n代入8時(n+1=猜拳的人數),機率會小於10%

解完之後也去看看跟此題一樣探討猜拳的題目吧~猜拳次數的期望值

所以下次有一群人要猜拳時,記得要分開來猜會比較容易得到結果喔^^
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