上一道數學謎題
下一道數學謎題

無限根號 (二)數學謎題

答對率:93%
無限根號,試問以下根式之值為何?


 
mightqxc2013-08-25提供(2013-08-28修改)
來源:看到上一題後才想出來的
看答案
3
 

解析

我要編輯
與前一題一樣,可以找出疊代的式子來。

為了符合題目的形式,可假設:

y = √( (y+a)2 - 4 (y+1) )   ,解一下,得 a = 2。然後,把 y 用 y+1, y+2, ... 代,得:
y = √( (y+2)2 - 4 (y+1) )
y+1 = √( (y+3)2 - 4 (y+2) )
y+2 = √( (y+4)2 - 4 (y+3) )


這樣一來,把黃色區不斷改寫成下一行的藍色區,得到:

y = √( (y+2)2 - 4 √( (y+3)2 - 4 √(…) ) )

令 y = 3 ,就可以得到題目的式子。

(此題的答案存在可以證明,一樣可用數列遞增有上界/遞減有下界來說明極限存在。此處略過。不過明顯地,這個根式有一個上界 √25 = 5,有一個下界 √(25-4√36) = 1。)
 

不過,是否這種看似有規律的無限根式,都能找到疊代的式子?我不曉得,讓有興趣的朋友們想吧!



以上根式的值又是多少? (答案是存在的,可以證明 2 是一個上界。但是值是多少我不會算…)
 
6,323
上一道數學謎題
下一道數學謎題