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尺 作圖數學謎題

答對率:40%
覺得尺規作圖等級太高了很困難嗎?來試試這題尺(?)作圖吧!


上面6*6格的方格紙上已經繪製了一個三角形,
請以(沒有刻度的)直尺繪製一個四個頂點都在三角形上的菱形
使得菱形的其中一個角為角A
(A並不在頂點上,但角A的兩條邊確實經過了方格的頂點(格子點),因此A是固定點)

註:
  1. 使用沒有刻度的直尺,意即每一步都只能使用已經存在的兩點來連成一條直線,但新的直線與先前就存在的線的交點可以拿來繼續使用於繪製新的直線。
  2. 方格紙的大小只有6*6格(也就是7*7個頂點),使用範圍外的頂點是不允許的。

(出題者不太確定這樣的題目應該要定義哪些東西,有任何疑問可以在留言提出)
iamfelix(翔峰)2018-04-17提供(2018-04-19修改)
來源:Pythagorea
看答案
下圖為其中一種(我所使用的)解題軌跡,
使用不同解法的人可以試試看觀察我所使用的方法為何:

解析將分解解題過程。

解析

我要編輯
要解開這一題不一定要用到很深的數學知識,國中程度即有機會解答。
出題者研究了好一陣子以後,最後放棄尋找簡單解法使用了解析幾何的方式,
因此下面(使用此方式)的解析會比較吃重直線方程式、座標平面的概念。
  • 找出角A的對頂點

觀察圖上的三角形,構成角A的兩條邊一條斜率為2(往右1格,接著往上2格),另一條的斜率為1/2(往右2格,接著往上1格)。根據菱形的性質:菱形的對角線是頂角的角平分線,我們可以得知過該菱形角A的對角線斜率為1,於是我們將三角形的另外兩個頂點B、C往右邊與上方平移一格得B'、C',再畫出兩條邊的交點就可以得到把A點往右邊與上方平移一格的D點,連接AD交BC得X點即為菱形中角A的對頂點。
  • 找出菱形的另外兩個頂點
在這裡卡了許久,最後不得已使用了計算的方式。
首先可以知道A點距離他左邊的鉛錘線的距離*2=A點距離他下面的水平線的距離=1-A點距離他上面的水平線的距離;而A點距離他上面的水平線的距離*2=A點距離他右邊的鉛錘線的距離=1-A點距離他左邊的鉛錘線的距離,經過比例計算後就能得到A點對於他左下角的格子點來說,位於該格(1/3,2/3)的位置(將原點設為A點左下角的格子點)。
同理我們可以得知X點對於他左下角的格子點來說位於(1/3-t,2/3-t)的位置;又X點在線段BC(斜率-1/3)上,藉由比例關係我們可以得知(2/3-t)*3 = 1 + (1-(1/3-t) )→2-3t=2-1/3+t→1/3=4t→t=1/12,得X點位於該格(3/12,7/12)的位置。由於菱形的兩對邊互相平行,所以我們必須要找出過X點且斜率為1/2和2的直線各一條,交AC、AB即為所求。
  • 第一條直線(斜率=1/2):

這裡選擇找(3/12+(5/12)*2,7/12+5/12)=(1+1/12,1)的P'點,即位於X點上方水平線L'、且在X點右方鉛錘線再右方1/12單位的點。連接P1P2交格線L於P點,經由比例關係可以得到P點的相對X座標為1/3,再連接P3P,即可得到交L'相對X座標為1/12的P'點即為所求,連接XP'交AB於Y點即為菱形的其中一個頂點。
  • 第二條直線(斜率=2):

這裡選擇找(3/12-(3/12),7/12-(3/12)*2)=(0,1/12)的S'點,即位於X點右方鉛錘線L2、且在X點下方水平線再往上1/12單位的點。連接S1與L2上X下方的格子點、S2與L2上X上方的格子點就能經由比例關係得到相對Y座標為1/3的L3,L3交最右邊的鉛錘線於S。再連接S3S,即可得到交L2相對Y座標為1/12的S'點即為所求,連接XS'交AC於Z點即為菱形的其中一個頂點。


菱形AYXZ即為所求。
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