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紅藍球數相等快問快答謎題

答對率:90%

『百萬獎金腦力戰』節目這次的新單元規則很簡單,

箱子中放了50顆紅球,49顆藍球,總共99顆球,
每顆球裡面都放了一萬元支票,
參賽者任意從箱子中取一些球出來,
如果取出的球中紅藍球數量相等,就可以把取出球中的支票帶回家,

第一位參賽者聽完規則說明,
心想:『我只要拿兩顆球出來,就有50/99的機率可以贏得獎金了。』

請問,你有比他想的更好的作法嗎?

NaoLiBuJi(腦力補給)2013-06-24提供
來源:http://www.morningrefresh.com/iq/daily/2013-06-24/
看答案

拿98顆球出來,
雖然贏得獎金的機率也是50/99,但是一旦抽對了可獲得的獎金更高。

解析

我要編輯
首先,先把所謂的"期望值"解釋一下:
若一個模組內有a1的機率可獲得報酬p1、a2的機率可獲得報酬p2、...an的機率可獲得報酬pn。則這個模組的期望值為a1*p1+a2*p2...+an*pn。這個在很多機率性問題都會牽扯到(例如賭場的機台設計)。
接著我們來看題目:
一次抽2顆球出來,中獎(先不管錢的多寡)的機率為50/99
一次抽4顆球出來,中獎的機率為[(50*49*49*48)/(99*98*97*96)]*[4!/(2!*2!)]=50/99*[(49/97)*(1/4)*6]=50/99*(73.5/97)<50/99
所以將這個機率用點在座標平面上表示,會呈現一漏斗狀的圖案(先不管是怎樣得到的,反正就是這樣,幾天後或許會寫出來)。而中獎機率最高的為2顆球跟98顆球的地方。
觀察98顆球的地方,他的中獎機率皆大於等於其餘方法的機率,且他的報酬也是最高(98萬),故他的期望值會勝過其他所有的取球方法。故98顆真的是最好的取球方法,但要怎麼直接"拿"出來就是個問題了。可能要把一顆球壓在箱子底部並且將其他的球倒出來。
4,680
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