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百萬獎金換不換:奸詐的主持人數學謎題

答對率:74%
這題的情況和「百萬獎金換不換」幾乎一樣。
(http://gameschool.cc/puzzle/103/)
假設獎金一開始放的位置在每一扇門後的機率都相等,都是1/3。
同樣的,你在3扇門中,選了1號門後,主持人打開一扇空的門,問你換不換。

乍一想應該要換,中獎的機率會比較高,但是你猶豫了。
你看過之前播出的節目,這個主持人在參賽者做選擇後,不一定會問參賽者換不換。
主持人在之前的節目中,有時候會有參賽者第一次選到沒中獎的門時,直接讓參賽者出局的情況;
若參賽者選到中獎的門時,則問出要不要換的情況就增加了,試著讓參賽者改變選擇。

你根據之前收看節目的經驗,在心中猜想了一下這位主持人的行為。
若一開始選擇的門沒有中獎,他有60%機率連換不換都不問你,直接判你出局。
若一開始選擇的是中獎的,他有80%的機率會開另一扇沒中獎的門,問你要不要換。

假設你的猜想是正確的,此時該選擇換或不換呢?

(第一次提供謎題 有錯誤或解釋不清楚的地方歡迎討論指教...)
daniel32333(croiX)2013-06-09提供
來源: 改編自 http://gameschool.cc/puzzle/103/
看答案
在此條件下,會讓換與不換的中獎機率相等。

解析

我要編輯
選完門後,可能會遇到三種情形:
A.沒中,直接被判出局 : 機率2/3 * 0.6
B.選中且拿到獎金 : 機率1/3 * (1-0.8)
C.面臨換不換的問題

在本題中A,B的情況已經排除了。
分析兩種「會讓主持人問出換或不換」的情形:
1.一開始選的門是有中獎的,且主持人問你換或不換 (不換的話會中獎)
機率是 (1/3) * 0.8 ~= 0.267
2.一開始選的門是沒中獎的,主持人沒有判你出局 (換的話會中獎)
機率是 (2/3) * (1-0.6) ~= 0.267
兩種情形的機率都是0.267,故換與不換的中獎機率相等。

以條件機率的算法分析:
情況1.發生的機率為
[(1/3) * 0.8] / [(1/3) * 0.8+(2/3) * (1-0.6)]
情況2.發生的機率為
[(2/3) * (1-0.6)] / [(1/3) * 0.8+(2/3) * (1-0.6)]
兩者算出來的結果皆為0.5。
3,572
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