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三人鎖邏輯謎題

答對率:56%
在GS研究所中有五位博士
分別是A B C D E
他們研究出了一項世人尚未發現的最新科技
為了不讓這項科技被任一位獨佔
他們把這項科技放在一個保險箱裡 並鎖了起來
每位博士都擁有一部分這些鎖的鑰匙,任三位博士必定可以打開這些鎖
但獨自一人或是只有兩位博士的時候是無法打開全部的鎖的
而這個保險箱也只能用博士手上的鑰匙打開鎖後開啟,鑰匙並沒有一開始就插在鎖上

那麼請問......
1.這個保險箱上最少有幾道鎖?
2.每位博士最少擁有多少把鑰匙?
danny(赤丸)2015-06-01提供(2017-02-18修改)
來源:數學偵探物語
看答案
1. 10道
2. 6把

解析

我要編輯
任意3人在場才能開鎖,換句話來講就是任意5-3+1人缺席就開不了鎖 
列出所有情形,只要符合一項就開不了(顯然有C(5,3)種,每個人出現C(4,2)次)
1.ABC都缺席
2.ABD都缺席
3.ABE都缺席
4.ACD都缺席
5.ACE都缺席
6.ADE都缺席
7.BCD都缺席
8.BCE都缺席
9.BDE都缺席
10.CDE都缺席

所以底下的每一樣都要符合才能開鎖(用了狄摩根定理)
1.ABC至少一人在場
2.ABD至少一人在場
3.ABE至少一人在場
4.ACD至少一人在場
5.ACE至少一人在場
6.ADE至少一人在場
7.BCD至少一人在場
8.BCE至少一人在場
9.BDE至少一人在場
10.CDE至少一人在場

於是直接對應到要10道鎖,每人有6支鑰匙
第1道鎖的鑰匙給ABC
第2道鎖的鑰匙給ABD
第3道鎖的鑰匙給ABE
第4道鎖的鑰匙給ACD
第5道鎖的鑰匙給ACE
第6道鎖的鑰匙給ADE
第7道鎖的鑰匙給BCD
第8道鎖的鑰匙給BCE
第9道鎖的鑰匙給BDE
第10道鎖的鑰匙給CDE

如果在一開始漏掉隨便一個條件,會造成不到3人就可以開鎖
如果列了不必要的條件,不只讓鑰匙與鎖的數量變多,還有可能讓某3人開不了鎖
19,631
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